2020年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）a 的相反数为3-，则a 等于( ) A ．3-B ．3C ．3±D ．132．（4分）下列运算正确的是( ) A ．34a a a =B ．22a a -=C ．257()a a =D ．22(3)6b b -=3．（4分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字1-、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．344．（4分）一实验室检测A 、B 、C 、D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）数据12、15、18、17、10、19的中位数为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．（4分）下列哪个数是不等式2(1)30x -+<的一个解？( ) A ．3-B ．12-C ．13D ．27．（4分）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以是( ) A ．1B ．32-C ．43D ．4或4-8．（4分）下列不等式错误的是( )A ．21-<-B ．πC ．52>D ．10.33>9．（4分）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4πB ．6C ．D ．83π10．（4分）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则( ) A ．12y y =- B ．12y y >C ．12y y <D ．1y 、2y 的大小无法确定二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）关于x 的方程38x x -=的解为x = ． 12．（4分）因式分解：2212a a -= ．13．（4的结果是 ． 14．（4分）王老师对本班40个学生所穿校服尺码的数据统计如下：”的人数有 个．15．（4分）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则MON ∠= 度．16．（4分）如图所示，点D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，连接BE ，过点C 作//CF BE ，交DE 的延长线于点F ，若3EF =，则DE 的长为 ．17．（4分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为矩形，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，点B 在函数1(0k y x x =>，k 为常数且2)k >的图象上，边AB 与函数22(0)y x x=>的图象交于点D ，则阴影部分ODBC 的面积为 ．（结果用含k 的式子表示）18．（4分）据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yu è)、合、升、斗、斛(h ú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hu án )其外，旁有庣(ti āo )焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．计算：11()|1|604-+-︒．20．先化简，再求值：()1x y yy x x y--+，其中x =，2y =．21．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线12//l l ，点A 、B 分别在1l 、2l 上，斜坡AB 的长为18米，过点B 作1BC l ⊥于点C ，且线段AC 的长为（1）求该斜坡的坡高BC ；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为60︒，过点M 作1MN l ⊥于点N ，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？ 22．近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对60天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：（1）求该数据中每天代寄包裹数在50.5~200.5范围内的天数；（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于1千克的包裹收费8元；重量超1千克的包裹，在收费8元的基础上，每超过1千克（不足1千克的按1千克计算）需再收取2元．①某顾客到该代办点寄重量为1.6千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？②这60天中，该代办点为顾客代寄的包裹中有一部分重量超过2千克，且不超过5千克．现从中随机抽取40件包裹的重量数据作为样本，统计如下：23．如图所示，BEF ∆的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足ABF CBE ∆≅∆． （1）求证：90EBF ∠=︒．（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值．24．AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足BCM BAC α∠=∠=．（1）如图①，求证：直线MN 是O 的切线；（2）如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH MN ⊥于点H ，直线DH 交O 于点E 、F ，连接AF 并延长交直线MN 于点G ，连接CE ，且53CE =，若O 的半径为1，3cos 4α=，求AG ED 的值．25．如图所示，OAB ∆的顶点A 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，直线AB 交y 轴于点C ，且点C 的纵坐标为5，过点A 、B 分别作y 轴的垂线AE 、BF ，垂足分别为点E 、F ，且1AE =． （1）若点E 为线段OC 的中点，求k 的值；（2）若OAB ∆为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒，其面积小于3． ①求证：OAE BOF ∆≅∆；②把1212||||x x y y -+-称为1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点间的“ZJ 距离”，记为(,)d M N ，求(d A ，)(C d A +，)B 的值．26．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象（记为抛物线)Γ与y 轴交于点C ，与x 轴分别交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别记为1x ，2x ，且120x x <<．（1）若a c =，3b =-，且过点(1,1)-，求该二次函数的表达式；（2）若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=．求证：当52b <-时，二次函数21(1)y ax b x c =+++的图象与x 轴没有交点．（3）若2226c c AB c-+=，点P 的坐标为(1)-，过点P 作直线l 垂直于y 轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l 上，连接OP 、AP 、BP ，PA 的延长线与抛物线Γ交于点D ，若OPB DAB ∠=∠，求0x 的最小值．参考答案一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．【解答】解：因为3的相反数是3-，所以3a =． 故选：B ．2．【解答】解：选项A ，根据同底数幂的乘法法则可得34a a a =，选项A 正确； 选项B ，根据合并同类项法则可得2a a a -=，选项B 错误； 选项C ，根据幂的乘方的运算法则可得2510()a a =，选项C 错误； 选项D ，根据积的乘方的运算法则可得22(3)9b b -=，选项D 错误． 故选：A ．3．【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3， 故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：2142=． 故选：C ．4．【解答】解：|1.2| 1.2=，| 2.3| 2.3-=，|0.9|0.9+=，|0.8|0.8-=， 又0.80.9 1.2 2.3<<<，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D 中的元件．故选：D ．5．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：10，12，15，17，18，19，则这组数据的中位数是1517162+=． 故选：C ．6．【解答】解：解不等式2(1)30x -+<，得12x <-，因为只有132-<-，所以只有3-是不等式2(1)30x -+<的一个解，故选：A ．7．【解答】解：点(,2)A a 是第二象限内的点， 0a ∴<，四个选项中符合题意的数是32-，故选：B ．8．【解答】解：A 、根据两个负数绝对值大的反而小可得21-<-，原不等式正确，故此选项不符合题意；B 、由34π<<，45可得π<C、3，532<，可得52>，原不等式错误，故此选项符合题意； D 、由10.33333=⋯，可得10.33>，原不等式正确，故此选项不符合题意．故选：C ．9．【解答】解：由题意，知4AC =，422BC =-=，190A BC ∠=︒． 由旋转的性质，得14AC AC ==． 在Rt △1A BC 中，111cos 2BC ACA AC ∠==． 160ACA ∴∠=︒．∴扇形1ACA 的面积为260483603ππ⨯⨯=．即线段CA 扫过的图形的面积为83π．故选：D ．10．【解答】解：20a b ->，20b ， 0a ∴>．又0ab <， 0b ∴<，12x x <，120x x +=， 21x x ∴=-，10x <．点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上，∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+．12120y y bx ∴-=>． 12y y ∴>．故选：B ．二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）11．【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程38x x -=， 移项，得38x x -=， 合并同类项，得28x =． 解得4x =． 故答案为：4．12．【分析】运用提公因式法分解因式即可．【解答】解：22122(6)a a a a -=-． 故答案为：2(6)a a -．13．【分析】利用二次根式的乘除法则运算．【解答】解：原式33== 4233=+ 2=．故答案是：2．14．【分析】直接用尺码L 的频率乘以班级总人数即可求出答案． 【解答】解：由表可知尺码L 的频率为0.2，又因为班级总人数为40， 所以该班学生所穿校服尺码为“L ”的人数有400.28⨯=． 故答案是：8．15．【分析】根据正多边形性质求出中心角，即可求出MON ∠的度数． 【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为： 360940AOB ∠=︒÷=︒， 280MON AOB ∴∠=∠=︒．故答案为：80．16．【分析】先证明DE 为ABC ∆的中位线，得到四边形BCFE 为平行四边形，求出3BC EF ==，根据中位线定理即可求解．【解答】解：D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， //CF BE ，∴四边形BCFE 为平行四边形，3BC EF ∴==，∴1322DE BC ==． 故答案为：32．17．【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOD ∆的面积为1，矩形ABCO 的面积为k ，从而可以求出阴影部分ODBC 的面积． 【解答】解：D 是反比例函数22(0)y x x=>图象上一点∴根据反比例函数k 的几何意义可知：AOD ∆的面积为1212⨯=．点B 在函数1(0ky x x=>，k 为常数且2)k >的图象上，四边形OABC 为矩形，∴根据反比例函数k 的几何意义可知：矩形ABCO 的面积为k ． ∴阴影部分ODBC 的面积=矩形ABCO 的面积AOD -∆的面积1k =-．故答案为：1k -．18．【分析】根据正方形性质确定CDE ∆为等腰直角三角形，CE 为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE ，求出CD ，问题得解． 【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形， 90D ∴∠=︒，CD DE =， CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =， 2.50.2522CE ∴=-⨯=，cos 2CD CE ECD ∴=∠==∴正方形CDEF 周长为故答案为：三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．【解答】解：原式41=+413=+-2=．20．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原分式，再将x ，y 的值代入计算可得． 【解答】解：原式221x y y xy x y -=-+ ()()1x y x y y xy x y +-=-+ 1x y x -=- y x -= y x =-，当x ，2y =，原式=21．【分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM ，问题得解．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，BC答：该斜坡的坡高BC 长为（2）60α∠=︒，30AMN ∴∠=︒，2AM MN ∴=，在Rt ABC ∆中，222AN MN AM +=，223004AN AN ∴+=10AN ∴=，20AM ∴=，20182AM AB ∴-=-=．综上所述，长度增加了2米．22．【分析】（1）根据统计图读出50.5~100.5的天数，100.5~150.5的天数，150.5~200.5的天数，再将三个数据相加即可；（2）①应付费用等于基础费用加上超过部分的费用；②求加权平均数即可．【解答】解：（1）结合统计图可知：每天代寄包裹数在50.5~200.5范围内的天数为18121242++=天；（2）①因为1.61>，故重量超过了1kg ，除了付基础费用8元，还需要付超过1kg 部分0.6kg 的费用2元，则该顾客应付费用为8210+=（元)；②(121514101516)4014⨯+⨯+⨯÷=（元)．所以这40件包裹收取费用的平均数为14元．23．【分析】（1）已知ABF CBE ∆≅∆，根据全等三角形的对应角相等可得ABF CBE ∠=∠，再由90ABF CBF ∠+∠=︒，可得90CBF CBE ∠+∠=︒，即可证得90EBF ∠=︒；（2）由ABF CBE ∆≅∆，根据全等三角形的对应角相等可得AFB CEB ∠=∠，由对顶角相等可得FGA EGB ∠=∠，即可证得90FAC EBF ∠=∠=︒；又因正方形边长为1，2CE =，可得AC 2AF CE ==．在Rt AFC ∆中，即可求得结论．【解答】（1）证明：ABF CBE ∆≅∆，ABF CBE ∴∠=∠，90ABF CBF ∠+∠=︒，90CBF CBE ∴∠+∠=︒，90EBF ∴∠=︒；（2）解：ABF CBE ∆≅∆，AFB CEB ∴∠=∠，FGA EGB ∠=∠，90FAC EBF ∴∠=∠=︒，正方形边长为1，2CE =．∴AC 2AF CE ==．tan AC AFC AF ∴∠=． 24．【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得90A B ∠+∠=︒，由OC OB =可得B OCB ∠=∠，推出90OCB BCM ∠+∠=︒，从而可得结论；（2）由已知条件易求出AC 的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得GFH ACE ∠=∠，根据余角的性质可得ECD AGC ∠=∠，进而可得EDC ACG ∆∆∽，根据相似三角形的性质变形可得AG DE AC CE =，即可求出结果．【解答】（1）证明：连接OC ，如图①，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OC OB =，B OCB ∴∠=∠，BCM A ∠=∠，90OCB BCM ∴∠+∠=︒，即OC MN ⊥，MN ∴是O 的切线；（2）解：如图②，AB 是O 的直径，O 的半径为1，2AB ∴=，3cos cos 4AC BAC AB α∠===，即324AC =， ∴32AC =， AFE ACE ∠=∠，GFH AFE ∠=∠，GFH ACE ∴∠=∠，DH MN ⊥，90GFH AGC ∴∠+∠=︒，90ACE ECD ∠+∠=︒，ECD AGC ∴∠=∠，又DEC CAG ∠=∠，EDC ACG ∴∆∆∽， ∴ED EC AC AG=， ∴355232AG DE AC CE ==⨯=． 25．【分析】（1）由点E 为线段OC 的中点，可得E 点坐标为5(0,)2，进而可知A 点坐标为：5(1,)2A ，代入解析式即可求出k ； （2）①由OAB ∆为等腰直角三角形，可得AO OB =，再根据同角的余角相等可证AOE FBO ∠=∠，由AAS 即可证明OAE BOF ∆≅∆；②由“ZJ 距离”的定义可知(,)d M N 为MN 两点的水平距离与垂直距离之和，故(d A ，)(C d A +，)B BF CF =+，即只需求出B 点坐标即可，设点(1,)A m ，由OAE BOF ∆≅∆可得(,1)B m -，进而代入直线AB 解析式求出k 值即可解答．【解答】解：（1）点E 为线段OC 的中点，5OC =， ∴1522OE OC ==，即：E 点坐标为5(0,)2， 又AE y ⊥轴，1AE =，∴5(1,)2A ，∴55122k =⨯=． （2）①在OAB ∆为等腰直角三角形中，AO OB =，90AOB ∠=︒， 90AOE FOB ∴∠+∠=︒，又BF y ⊥轴，90FBO FOB ∴∠+∠=︒，AOE FBO ∴∠=∠，在OAE ∆和BOF ∆中，90AEO OFB AOE FBOAO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()OAE BOF AAS ∴∆≅∆，②解：设点A 坐标为(1,)m ，OAE BOF ∆≅∆，BF OE m ∴==，1OF AE ==，(,1)B m ∴-，设直线AB 解析式为：:5AB l y kx =+，将AB 两点代入得：则551k m km +=⎧⎨+=-⎩． 解得1132k m =-⎧⎨=⎩，2223k m =-⎧⎨=⎩． 当2m =时，2OE =，OA =，532AOB S ∆=<，符合； (d A ∴，)(C d A +，)()()1111211528B AE CE BF AE OE OF CE OE OE CE OE CO OE =++-++=++-++=++=++=++=，当3m =时，3OE =，OA =53AOB S ∆=>，不符，舍去；综上所述：(d A ，)(C d A +，)8B =．26．【分析】（1）根据题意，把a c =，3b =-，点(1,1)-，代入解析式，即可求出解析式；（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；（3）根据二次函数的性质，得到244b ac a -=，结合根与系数的关系，得到2426c c a c -+=，然后证明OAP OPB ∆∆∽，得到OA OP OP OB =，然后得到01c x a=-，利用二次函数的性质即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：23y ax x a =-+，函数过点(1,1)-，31a a ∴-+=-，1a c ∴==，231y x x ∴=-+；（2）由题意，一元二次方程20ax bx c ++=的判别式△4=． ∴△244b ac =-=，244ac b ∴=-，在函数21(1)y ax b x c =+++中，2221(1)4(1)(4)25b ac b b b =+-=+--=+，52b <-， 250b ∴+<，即函数图象与x 轴没有交点；（3）因为函数顶点在直线l 上，则有2414ac b a -=-， 即244b ac a -=①，2226c c ABc -+=， ∴222126()c c x x c -+-=， 即22121226()4c c x x x x c -++-=， ∴222426b ac c c a c--+=， 由①得：2426c c a c-+=②， OAP DAB ∠=∠，OPB DAB ∠=∠，OAP OPB ∴∠=∠，OAP OBP APB ∠=∠+∠，OPB OPA APB ∠=∠+∠， OBP OPA ∴∠=∠，则OAP OPB ∆∆∽． ∴OA OP OP OB=， 2OA OB OP ∴=，∴2212((1)x x =+-． ∴01c x a=+， ∴01c x a =-．由②得：202614c c x -+=-， ∴2011(1)44x c =-+， ∴当1c =时，01()4min x =．。