定理2设G是空间二二维单连通区域， 在G内具有一阶连续偏导数，则曲面积分
在G内与所取曲面 无关而只取决于 的边界曲线（或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是 （4）
在G内恒成立.
证类似于第三节第二目的证明.
2.通量与散度
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由
给出，其中 假定具有一阶连续偏导数， 是速度场中的一片有向曲面，又
＝ .（8）
现在，斯托克斯公式可写成向量的形式
，
或
，（9）
其中
为 在 的法向量上的投影，而
为向量 在 的切向量上的投影.
沿有向闭曲线 的曲线积分
叫做向量场 沿有向闭曲面 的环流量.斯托克斯公式（9）现在可叙述为：向量场 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 的旋度场通过 所张的曲面 的通量,这里 的正向与 的侧应符合右手规则.
.
计算 。 的方程为 ，其在xOy平面的投影区域 ： ，又曲面的面积元素
所以
＝
例8计算 ，其中L是 从点 到点 的上半圆弧， 为常数.
解我们补一条直线 ，得闭曲线 ，从而可以是呀格林公式
＝
＝ 图8－23
＝
其中 为半圆
又 ，故
例9计算 ，其中 为任一不经过原点的闭曲面的外测.
解因为 ，所以
（1）当 不包围原点时，由高斯公式即得 ＝0。
在计算 时， 可分为两块，即右面一块 和左面一块 ， 在zOx平面上的投影为正， 在zOx平面上的投影为负，其投影区域 相同.故
在计算 时，注意被积函数 中， ， 在xOy平面上的投影为负，投影区域 可用极坐标表示为 ，故
例7计算 ，其中 是平面 在第一卦限部分的上侧.
解因为 取上侧，因此法向量n与z轴正向的夹角为锐角，其方向余弦是 ，则有
解这里P=xy,Q=y ,R=xz
divA=
于是
div
8.5.2向量场的旋度
1．空间曲线积分与路径无关的条件
定理2设空间区域G是一维单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分 在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是
（5）
在G内恒成立.
证略
定理3设区域G是空间一维单连通区域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则表达式 在G内成为某一函数 的全微分的充分必要条件是等式（5）在G内恒成立；当条件（5）满足时，这函数（不计一常数之差）可用下式求出：
证由两类曲线积分的联系和性质，有
例5求面密度为常数 的均匀抛物面壳 的重心坐标.
解由抛物面 的对称性和均匀性知，重心坐标中 ，下面求坐标 .
抛物面 在xOy平面上的投影区域 为 ，故有
所以
重心坐标为
例6计算 其中 是锥面 被平面 和 所截得的部分的下侧.
解在计算 时， 可分为两块，即前面一块 和后面一块 ， 在yOz平面上的投影为正， 在yOz平面上的投影为负，其投影区域 相同.见图9－22.故图8－22
（2）当 包围原点时，取 的外测，
由高斯公式，得 ＝ 。
而
即
例10计算 ，其中 ， 是锥面 在xOy平面上方的部分，n是 的上侧的单位法向量.
解曲面 与xOy平面的交线（即其边界）为 ，并取 为逆时针方向.
由斯托克斯公式，知
＝ ，
在 和 所围成的平面 上，对上式右端闭路积分再次应用斯托克斯公式，得
，其中
是 在点 处的单位法向量，则由第五节第一目知道，单位时间内流体经过 流向指定侧的流体总质量 可用曲面积分来表示：
其中 表示流体的速度向量 在有向曲面 的法向量上的投影.如果 是高斯公式（1）中闭区域 的边界曲面的外测，那么公式（1）的右侧可解释为单位时间内离开闭区域 的流体的总质量.由于假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开 的同时， 内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充.所以高斯公式左端可解释为分布在 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.
为便于记忆， 的表达式（8）可利用行列式记号形式地表示为
＝ .
周 .
解利用L的极坐标方程
被积函数
，于是
图8－20
例2计算 ，其中L是圆周 .
解利用曲线积分的性质，得
＝ ＋
对于 ，因为积分曲线L是关于y轴对称的，被积函数 是L上关于 的奇函数，所以 ＝0.
为简便起见，把高斯公式（1）改写成
以闭区域 的体积V除上式两端，得
上式左端表示 内的源头在单位时间内所产生的流体质量的平均值。应用积分中值定理于上式左端，得
，
这里 是 内的某个点.令 缩向一点 ，取上式的极限，得
上式左端称为v在点M的散度，记作 ，即
在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度—在单位时间内所产生的流体质量.如果 为负，表示点M处流体在消失.
例3计算 ，其中 为 ，取逆时针方向.
解积分路径如图8－21，利用对称性。将原式分成两部分，即
第一个积分，曲线关于 轴对称，L在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是y的偶函数。
第二个积分，曲线关于 轴对称，L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图8－21
分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.即 ＝0
对于 ，因为积分曲线L是关于 轴也是对称的，被积函数 是L上关于y的奇函数，所以 ＝0.
综上所述，得 ＝0.
关于对称性的一般法则
设函数 在一条光滑（或分段光滑）的曲线L上连续，L关于y轴（或x轴）对称，则
（1）当 是L上关于x（或y）的奇函数时， ；
（2）当 是L上关于x（或y）的偶函数时， ，其中曲线 是曲线L落在y（或x）轴一侧的部分。
例11设函数 有连续的导数，且曲线积分 与路径无关，求 。*
解由于积分与路径无关，所以 ，从而 。
由一阶线性微分方程的通解公式，有
例12设函数 有连续的导数，满足条件 ，且曲线积分 与路径无关，求 。并计算 *
解由于积分与路径无关，所以 ，从而 。
由一阶线性微分方程的通解公式，有 。
又 ，所以c=0,从而 。
一般地，设某向量场由
给出，其中 具有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面，n是 在点 处的单位法向量，则 叫做向量场 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量），而 叫做向量场 的散度，记作 ，即
高斯公式现在可以写成
，
其中 是空间闭区域 的边界曲面，而
是向量 在曲面 的外测法向量上的投影.
例1设向量场A(x,y,z)=(xy,y ,xz)，求A(x,y,z)在点(0, 1, 0)处的散度divA。
（6）
或用定积分表示为（按图10－29取积分路径）
（6’）
其中 为G内某一定点，点
2.环流量与旋度
设斯托克斯公式中的有向曲面 在点 处的单位法向量为
而 的正向边界曲线 在点 处的单位切向量为
则斯托克斯公式可用对面积的曲面积分及对弧长的曲线积分表示为
（7）
设有向量场
在坐标轴上的投影分别为
的向量叫做向量场 的旋度，记作 ，即
上述结论再一般情况下也成立.
对坐标的曲线积分，当平面曲线L是分段光滑的，关于 轴对称，L在上半平面与下半平面部分的走向相反时，
（1）若 （即 为 的偶函数），则 ；
（2）若 （即 为 的奇函数），则 ，其中 为L的上半平面的部分.
类似地，对 的讨论也有相应的结论.
例4设 ， 在光滑的有向曲线 上连续，L为曲线弧 的弧长，而 ，证明
8.5
8.5.1向量场的散度
1．沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
对于曲面积分 在怎样的条件下与曲面 无关而只取决于 的边界曲线？这问题相当于在怎样的条件下，沿任意闭曲面的曲面积分为零？
对空间区域G，如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G，则称G是空间二维单连通区域；如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面，则称G是空间一维单连通区域.