第8章 曲线积分与曲面积分向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=L Qdy Pdx W 。

平面曲线⎰++L Qdy Pdx ，空间曲线⎰+++L Rdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=L L一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{10⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。

~3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。

下列四个命题等价（1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）xQy P ∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分 ,（1） 计算⎰-=Lydx xdy I ，:L 如图ABCDEA解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-20)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L 于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-10224dy ydx xdy L于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L} 综上231423+=-⎰πLydx xdy 解（2）（用格林公式）)(224321S S S Sdxdy ydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ （2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。

其中C 是曲线)0,0(222222≥>⎪⎩⎪⎨⎧=+=++z R Rxy x Rz y x 从x 轴正向看去，逆时针方向。

解（1）令2sin sin 2cos 22222θθθR y x R z R y R R x =--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-θθθθθθθπd R R R R R R I ]2cos 2)cos 1(4cos 22sin sin 2sin 4[22222022⋅+++-=⎰ 341R π-=解（2） 由对称性 02≠⎰C dy z ，而02=⎰C dx y ，02=⎰Cdz x ，由上述参数法》dt t t R t d RR I 22cos sin 22cos 22sin0232022⋅==⎰⎰ππθθθθ ⎰⎰-=-=20423223)sin 2(sin 2)sin 21(sin ππdt t t Rdt t t R3341224132212R R ππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-= 注（1）设参数注重平面，“抓住平面痕迹，解得空间曲线(2)对称性问题，以直观（几何）定义解之为好（3） 计算：⎰++Lxdz zdy ydx 。

⎩⎨⎧=++=+1:222z y x R y x L 交线，从z 轴正向看去逆时针方向。

（令t R x cos =,t R y sin =，t R t R z sin cos 1--=） 例2 格林公式（加线减线）（1） 计算⎰-++-Cx xdy ax y e dx y x b y e)cos ()](sin [，:C 从点)2,0(a A 沿曲线22y ay x --=到点)0,0(O 的曲线。

连接O ，A 直线段（记为L ）⎰⎰+-+=LLC Qdy Pdx Qdy Pdx I"⎰-++-=LC x x dy ax y e dx y x b y e )cos ()](sin [⎰-++--Lx x dy ax y e dx y x b y e )cos ()](sin [⎰⎰⎰----=a Dx x ydy dxdy b y e a y e 20cos )]cos ()cos [(a ab a y dxdy a b aD2sin )(2|sin )(220--=--=⎰⎰π2．L 是不过原点的简单闭曲线（正向）计算曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224。

解 （1）当L 不包围原点时⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--++-=+-L D dxdy y x y x y x y x y x ydx xdy 0)4(4)4(44222222222222 （2）当L 包围原点时，做小椭圆2224:εε=+y x L (使ε充分小，从而e L 含于闭曲线内)。

则πεεπεεεεε=⋅⋅⋅=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰+221)11(1222LDL L dxdy ydxxdy 。

注：本题为一特殊类型，形式：闭曲线围奇点；只当满足yPx Q ∂∂=∂∂可微，此时对于任意围奇点的闭曲线积分相等。

例3 （积分与路径无关问题）.a P ，Q 已知，积分与路径无关，自选路径 ·（1）计算⎰+-L y x ydx xdy 22，L ：x y 2cos π=，由)0,1(-A 至)1,0(B 再到)0,1(C 弧段解 易验证yP x Q ∂∂=∂∂，积分与路径无关，做)0(122≥=+y y x 段（记为1L ） 则原式⎰⎰⎰-=+=-=+-=1)sin (cos 02222L L dt t t ydx xdy yx ydx xdy ππ（2）计算⎰--+^)(cos )12(AOByy dy xe y dx e xy ，其中^AOB 为起于)1,1(-A 沿2x y =到)0,0(O 再沿0=y 至)0,2(B 。

解 ⎰⎰⎰⎰⎰++-++=+=2)10(cos 12^^^dx ydy xydx dy xe dx e I AOOBAOyy AO2cos 12)(0112^+-+=⎰⎰⎰-ydy dx xx xe d AOy1sin 12|sin |41201014)0,0()1,1(+-=+-⋅+=--e y x xey b ．P ，Q 之一未知，已知积分于路径无关问题。

（1）设f 具有连续二阶导数，且1)1()1(='=f f ，⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+L dy x y f x y dx x y xf x y 0[]2，》其中L 是任一不与y 轴相交的简单光滑逼曲线，求)(x f 。

解 L ∀原积分为零，则y P x Q ∂∂=∂∂，即⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎭⎫ ⎝⎛--'-='+x y f x y x x y f x y f x x x y 2)()(2 xy x y f x y f x y 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛''，令t x y =，得t t f t f t 2)(2)(='-''，2)(2)(='-''t f t t f 222222222122)(ct t ct t t c dt t t c dt e e t f dt t dt t +-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰='⎰⎰- 代入1)1(='f 得c +-=21，3=c ，t t t f 23)(2-='，123)(c t t t f +-=，代入初值1)1(=f 得1111c +-=,11=c ，则1)(23+-=t t t f 即1)(23+-=x x x f （2）设函数),(y x Q 与xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分⎰+Ldy y x Q xydx ),(2路径无关，且t ∀恒有 ⎰⎰+=+),1()0,0()1,()0,0(),(2),(2t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx~求),(y x Q 。

解 由于积分与路径无关，得x xy yx Q 2)2(=∂∂=∂∂，则)(),(2y c x y x Q +=，)(y c 为待定函数，则 ⎰⎰⎰+=+=+1122)1,()0,0()())((),(2dy y c t dy y c t dy y x Q xydx t⎰⎰⎰⎰+=+==+tttt dy y c t dy y c dy y Q dy y x Q xydx 0),1()0,0()())(1(),1(),(2从而 ⎰⎰+=+tdy y c t dy y c t 0102)()(，对t 求导得 )(12t c t +=，12)(-=t t c ，12)(-=y y c 从而12),(2-+=y x y x Q ；小注：上述两例由积分与路径无关，和P ，Q 之一未知而导得微分方程，称为解方程问题。

向量值函数在有向曲面上的积分一、概念与形式 1．定义流量→→→→⋅∆⋅⋅=s v v n S v Q ),cos(||，Rdxdy Qdzdx Pdydz ds v dQ ++∆⋅=→→ ))),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P v =→⎰⎰⎰⎰++++=⋅→S S Rdxdy Qdzdx Pdydz dS v2．物理意义：计算流量，通量 3．性质：⎰⎰⎰⎰-+-=S S4．计算方法：投影，定号：上正下负，右正左负，前正后负，做二重积分 5.高斯公式Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω，或dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos (γβα++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω这里∑是Ω的整个边界曲面的外测,γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.二、例题例1 求积分⎰⎰外S xyzdxdy ，其中1:222=++z y x S ，0,0≥≥y x 部分外测 …解 把S 分成两部分：221:y x z S --=上，221:y x z S ---=下⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----+--=+=xyxyS S S D D dxdy y x xy dxdy y x xy)1()1(12222下外上外外1521cos sin 2121224022=-=--=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x xy xyD πθθθ。