2 近似 在小弧段 Ai 1 Ai 上任取一点 M i ( ξ i , ηi )， 该弧段 的质量可近似表示为 ΔM i ≈ μ( ξ i , ηi )Δsi ( i = 1,2,L, n) 3 求和 整个构件质量的近似值
M = ∑ ΔM i ≈ ∑ μ( ξ i , ηi )Δsi
i =1 i =1 n n
第十章 曲线积分与曲面积分
本章基本要求
1. 理解两类曲线积分的概念，知道两类曲 线积分的性质. 2. 掌握两类曲线积分的计算方法. 3. 熟悉格林公式(Green)，会用平面曲线积分 与路径无关的条件. 4. 知道两类曲面积分的概念及高斯公式 (Gauss)、斯托克斯公式(Stokes)，并会计算两类 曲面积分.
1≤ i ≤ n
Ai 1 Ai 上任取一点 M i ( ξ i , ηi ), 作乘积 f ( ξ i , ηi )Δsi
（i = 1,2,L, n）并作黎曼和 ∑ f ( ξ i , ηi )Δsi . ,
n
令λ → 0， 若此和的极限总存在， 即极限值与曲线
L的分法及点 M i的取法无关，
i =1
y
θ= π
4
解 L 的极坐标方程为：
1o 求 d s
ρ = a cos 2θ
2
2
2
O
2
x
a sin 2θ 2 ρ (θ ) ρ ′(θ ) = 2a sin 2θ , ρ ′(θ ) = ρ (θ )
ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ ) d θ
2
ds =
=
a2 ρ (θ ) + ( a sin 2θ ) dθ dθ = ρ (θ ) ρ (θ )
Γ : x = φ( t ), y = ψ ( t ) , z = ω( t ) (α ≤ t ≤ β )
则
β
∫ f ( x , y , z )d s
Γ
= ∫ f (φ( t ) , ψ ( t ), ω( t ) ) φ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) + ω′ 2 ( t ) d t α
则称该极限值为函数 f (x, y)在曲线L上的第一类 曲线积分或对弧长的曲线积分，记作 被积函数
弧微分
n
积分和式
∫ f ( x , y ) d s = λlim0 ∑ f (ξ i ,ηi )Δsi → i =1
L
积分弧段
被积表达式
注 1 当函数 f (x, y)在曲线L上连续时, 曲线积分 z f ( x , y )ds 存在(充分条件).
5. 知道散度、旋度的概念. 6. 能用曲线积分及曲面积分来表达一些几 何量与物理量 (如：体积、质量、重心等).
第十章
第一节 第一类曲线积分
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 第一类曲线积分的概念与性质
1. 问题的提出 曲线形构件的质量 设有一位于 xOy 平面上的曲 构件分布是 线形状的构件(如图)， 非均匀的，其线密度为 μ( x , y ), 求构件的质量. 采用分割，近似，求和，取极 限的方法来求曲线形构件的质量
∴ ∫ x d s = ∫ x 1 + ( 2 x )2 d x
L 0 1
y
B (1,1)
y=x o
2
= ∫ x 1 + 4 x dx
2 0
1
L 1x
1
1 = (1 + 4 x 2 ) 12
3
2
1 = 12 ( 5 5 1 ) 0
例2 计算半径为 R ,中心角为 2α 的圆弧 L 对于它 的对称轴的转动惯量I (设线密度μ = 1). y 解 建立坐标系如图, 则 I = ∫ y 2 ds α L o R x L x = R cos θ L: ( α ≤ θ ≤ α ) y = R sin θ
当 L关于 y轴对称时，有类似的结 论 .
( 2 ) 轮换对称性
若在曲线 L 的方程中，将 x与 y进行交换，
L 的方程不变，则
∫ f ( x, y ) d s = ∫ f ( y, x ) d s
L L
二、典型例题
例1 计算
x ds , 其中 L 是抛物线 y = x 2 上点 ∫
L
点O (0,0)与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解 Q L : y = x2 ( 0 ≤ x ≤ 1)
= ∫ R 2 sin 2 θ ( R sin θ )2 + ( R cos θ )2 d θ
α
3 θ sin 2θ 3 2 = R ∫ sin θ d θ = 2 R 4 0 α 2
α
α
α
= R 3 (α sin α cos α )
例3 计算曲线积分 解
2π
( x 2 + y 2 + z 2 )ds , 其中Γ为螺旋 ∫
x = a (1 + cos t ), y = a sin t , 0 ≤ t ≤ π , ds = adt . A1 = ∫ z ds =
L
∫
4a 2 x 2 y 2 d s
t 2 π 2a sin dt 0 2
∫
L
2 曲线形构件的质量可以表示为 M = ∫ μ( x , y )ds
L 3 当 f ( x , y ) ≡ 1 时， 弧长 = ∫ ds ;
L L
z=f (x, y)
O x L
y
4 当 f ( x , y )表示立于 L上的 柱面在点 ( x , y )
处的高时 , S柱面面积 =
∫ f ( x , y )ds.
Γ
线 x = a cos t , y = a sin t , z = k t (0 ≤ t ≤ 2 π ) 的一段弧.
( x 2 + y 2 + z 2 ) ds ∫
Γ 0
= ∫ [(a cost )2 + (a sint )2 + (kt)2 ] a2 sin2 t + a2 cos2 t + k2dt = a +k
2. 利用对称性
设 f ( x , y )在曲线 L 上连续，
(1) 轴对称性
若 L 关于 x 轴对称，则 0, ∫ f ( x , y ) d s = 2 ∫ f ( x , y ) d s, L1 L
L1 : L 在 y ≥ 0 的部分 .
f ( x , y ) = f ( x , y ) f ( x , y ) = f ( x , y )
M = lim ∑ μ ( ξ i , ηi )Δ si
λ→ 0 i =1 n
B
Ai
( ξ i , ηi )
Δ si Ai 1
A
1 分割 用曲线AB上的任意点 A0 , A1 ,L, An , 将AB 分割成 n小段， 小弧段的弧长为 Δsi , λ = max {Δsi }.
1≤ i ≤ n
B
Ai Δ si Ai 1
( ξ i , ηi )
4 取极限 构件的质量
M = lim ∑ μ( ξ i , ηi )Δsi
λ→ 0 i =1 n
A
2. 定义 10.1 设函数 f (x, y) 在 xOy 面内的分段光滑曲线弧 L 上有界. 将 L 任意分成 n 个小弧段，设分点为
A0 , A1 ,L, An . 记第 i 个小弧段 Ai 1 Ai的长度为 Δs（i = 1,2,L, n） 记 λ = max {Δsi }. 在小弧段 , i
L
5 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y μ d s,
2
y
L (x, y)
I y = ∫ x μ d s.
2 L
L
6 曲线弧的质心坐标
x=
Hale Waihona Puke Ox∫ xμ d s
L
∫ μds
L
,
y=
∫ yμ d s
L
∫ μds
L
.
7
∫ f ( x , y ) d s 与 ∫∫ f ( x , y ) d σ 的区别：
L
特别的有
| ∫ f ( x , y )ds |≤ ∫ f ( x , y ) ds
L L
L
(二) 第一类曲线积分的计算法
1. 直接法 基本思路: 求曲线积分 定理10.1
转化
计算定积分
设 f ( x , y ) 是定义在光滑曲线弧 L : x = φ( t ), y = ψ ( t ) (α ≤ t ≤ β )
2 2
∫0
2π
[a 2 + k 2 t 2] d t
2 k 2 3 2π = a2 + k 2 a t + t 3 0 2π 2 = a + k 2 ( 3a 2 + 4 π 2 k 2 ) 3
例4 计算
2
∫ x ds , 其中L为双纽线：
L 2 2 2 2 2
( x + y ) = a ( x y ) (常数 a > 0).
上的连续函数, 则曲线积分
∫ f ( x , y ) ds 存在 , 且
L
∫ f ( x , y ) ds = ∫ α
L
β
′2 (t ) + ψ′2 (t ) d t f [φ( t ) , ψ ( t )] φ
注 1 Q Δ sk > 0, ∴ Δ t k > 0, 因此积分限必须满足下限小于上限：
α< β !
2 注意到
ds = (d x ) + (d y )
2 2 2 2
y
= φ′ ( t ) + ψ ′ ( t ) d t