(k) k ()
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且 任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空 间V中的两组基.由基的定义，它们必可以 互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线 性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B
nn
A
aij Eij
i1 j1
因而A在这组基下的坐标是(a11, a12,…, a1n, a21, a22,…, a2n,…,…, an1, an2, …, ann ).
7.2.2 基变换与坐标变换 在线性空间中，对于不同的基底，元
素α的坐标一般是不同的. 那么当基变换时， 坐标是怎么变化的呢?
如果把α,β的坐标按Pn中加法和数乘 进行运算，有
(a1, a2 ,, an ) (b1, b2 ,, bn ) (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) k(a1, a2 ,, an ) (ka1, ka2 ,, kan )
即α与β的坐标相加的结果恰好是α+β的坐 标，而k数乘α的坐标结果恰好是 kα的坐标. 换言之，在V的元素与它的坐标的对应下， 加法关系和数乘关系也完全对应地保持下 来了.
设α是V中任一元素，它在
ε1,ε2, …,εn下的坐标为(x1,x2, …,xn)，即
x1
1
,
2
,
,
n
x2
xn
(7.2.4)
再设α在η1,η2, …,ηn下的坐标为(y1,y2, …,yn)， 即
y1
1
,2
,
,n
y2
yn
将(7.2.3)代入上式，并与(7.2.4)式比较，由 α在基底下ε1,ε2, …,εn表出的惟一性，即得
(3) 若α1,α2,…,αr线性无关，而 α1,α2,…,αr,β线性相关，则β必可由 α1,α2,…,αr线性表出，且表示法是唯一的.
在n维向量空间中，极大线性无关组称 为基，其所含向量的个数称为空间的维数. 利用线性相关性，在一般的线性空间中也 可以引入基与维数概念.
定义7.2.4 设V是数域P上的线性空间， V中任意n个线性无关的元素ε1,ε2,…,εn
一一对应(双射). 不仅如此，这个对应还具 有保持线性空间加法和数乘两种运算的性 质. 确切地说，设
a11 a2 2 an n
b11 b2 2 bn n
则
(a1 b1)1 (a2 b2 ) 2 (an bn ) n
及
k ka11 ka2 2 kan n
上述几个定义实际上是大家在第三章
中已经熟悉的.它们不过是把n维向量空间
的相应概念搬到了抽象的线性空间中. 只 依赖于线性空间的加法和数乘运算，这些 概念便可毫无困难地移植过来.不仅如此， 在第三章对n维向量线性相关性的讨论可 以完全照搬到抽象的线性空间中，并得出 相同的结论. 这里不再重复这些论证，只 把相关结论叙述如下.
k11 k22 krr 0
两边作σ映射即得
k1 (1) k2 (2 ) kr (r ) (0) 0
这说明若α1,α2,…,αr线性相关，则
(1),, (r )
也线性相关.反之，若有不全为零的 k1,k2,…,kr使
k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ) 0
即由 α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βm的过渡矩 阵为A-1B
设α为P[x]4中任一向量，它在基 α1,α2,α3,α4下的坐标为(x1,x2,x3,x4)T，在基 β1,β2,β3,β4 下的坐标为(y1,y2,y3,y4)T ，则坐 标变换公式为
x1
y1
x2 x3 x4
这n个元素都是线性无关的.故这是一个无穷 维线性空间.
以下假定所论及的线性空间是有限维 的.
例7.2.4 设Mn(R)是实数域上所有n阶方 阵所成实数域R上的线性空间. 则在例7.2.1
中给出的
Eij i 1,2,, n, j 1,2,, n
是Mn(R) 的一组基.任给一个n阶实矩阵 A=(aij)n×n，有
x1 y1
x2
xn
A
y2
yn
(7.2.5)
或
y1
x1
y2
A
1
x2
yn
xn
(7.2.6)
(7.2.5)与(7.2.6)式给出了在基变换(7.2.2)
（或(7.2.3)）下坐标的变换公式.它指出，
若A是线性空间的一组基到新基的过渡矩
阵，则任一元素在新基下的坐标列向量等
(k11 k2 2 kr r ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r )
(2) V中元素组α1,α2,…,αr线性相关的 充要条件是 (1), (2 ),, (r )线性相关；
(3)同构的线性空间有相同的维数； (4)数域P上任一个n维线性空间都同 构于P上的n维向量空间Pn. 证 (1) 由同构映射定义有
定理7.2.1 设V是数域P上的线性空间，
α,βV ，α1,α2,…,αr及
β1,β2,…,βs是V中两个元素组，则有
(1) 单个元素 α线性相关的充要条件是 α＝0 . 含两个以上元素的元素组 α1,α2,…,αr 线性相关的充要条件是其中有一个元素是 其余元素的线性组合；
(2) 若元素组 α1,α2,…,αr线性无关，且 可由 β1,β2,…,βs线性表出，则必有 r≤s;
于A-1乘该元素在原基下的坐标列向量.
例7.2.6 在P[x]4中取两组基
1 1 2x 2x3，2 1 x 2x2，3 1 2x2，4 1 3x 3x3
1 1，
2 1 x， 3 (1 x)2， 4 (1 x)3
求P[x]4中向量在这பைடு நூலகம்组基下的坐标变换公 式.
解 取 P[x]4的一组基1,x,x2,x3,则
同的基. 但这些不同的基所含的向量个数 必是相同的.
定理7.2.2 设 α1,α2,…,αn是线性空间V 的一组基,β1,β2,…,βm也是线性空间V的一组 基, 则n=m .
证 由于α1,α2,…,αn是V的一组基, 由定 义7.2.4, V中任一元素 β可由α1,α2,…,αn线性 表出, 从而 β1,β2,…,βm可由α1,α2,…,αn线性 表出. 又已知β1,β2,…,βm是线性无关的, 由
定义7.2.6 该V与W是数域P上两个线性 空间，如果存在V到W的一一对应映射σ， 使
( ) () ( )
(k) k ()
对任意α,βV,kK成立，则称V与W是同构
的线性空间，σ称为同构映射.
定理7.2.3 设σ为线性空间V到W的同构 映射，则
(1) (0) 0, () ()
(7.2.2)
用形式的矩阵记法，上式可写为
1 ,2 ,,n 1 , 2 ,, n A (7.2.3)
其中矩阵
a11
A
a12
a 21
a 22
an1 an2
a1n a2n ann
称为由基ε1,ε2,…,εn到基 η1,η2, …,ηn的过渡矩 阵.类似于第三章§3.4的证明，A是可逆的.
例7.2.1 实数域上所有n阶矩阵所成的实 数域上线性空间是n2维的，因为若记
0 0 0
Eij 0 0 1 0 0 i
0
0
0
j
为只有第i行第j列元素为1，其余均为0的n
阶矩阵，则 Eij i 1,2,, n, j 1,2,, n
线性无关，且共有n2个元素. 易见任一n阶
方阵可由它们线性表出，由定理7.2.1最多
只有n2个线性无关元素.
例7.2.2 实数集R作为自身的线性空间 是一维的. {1}是一个线性无关元素，且任一 元素均可由它线性表出.
例7.2.3 所有实数域上的一元多项式所 成的实数域上线性空间中有任意多个线性 无关元素. 对任意的n，
1, x, x 2 ,, x n1
A 1 B
y2 y3 y4
7.2.3 线性空间的同构
我们知道，给定数域P上线性空间V的 一组基ε1,ε2,…,εn后，V中每个元素都在这组 基下有唯一确定的坐标(x1,x2, …,xn) .坐标就 是由数域P中n个数给出的n元数组，即坐标 可看成是线性空间Pn的元素. 因此，V的元 素与它的坐标之间的对应实质上是V到Pn的 一个映射，这个映射还是单的和满的. 换言 之，V的元素与Pn的向量之间有了一个