【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1为单位的能量。

解：811412.99810m s 4.46910s 670.8m cνλ--⨯⋅===⨯ 41711 1.49110cm670.810cm νλ--===⨯⨯3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N sν--==⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s -1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm 的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：2012hv hv mv =+()1201812341419312 2.998102 6.62610 5.46410300109.10910h v v m m s J s s m kgυ------⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦134141231512 6.62610 4.529109.109108.1210J s s kg m s ----⎡⎤⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⨯⎣⎦=⨯【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a ） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m ·s -1的尘埃； （b ） 动能为0.1eV 的中子； （c ） 动能为300eV 的自由电子。

解：根据关系式：(1)34221016.62610J s 6.62610m 10kg 0.01m s h mv λ----⨯⋅===⨯⨯⋅ 34-11 (2) 9.40310mh p λ-====⨯3411(3) 7.0810mh p λ--====⨯【1.6】对一个运动速度c υ（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：1v vv v 2h h E m p m νλ=====①②③④⑤结果得出12m m υυ=的结论。

上述推导错在何处？请说明理由。

解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：/E hv p h λ==式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck 常数。

根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：p m υ=知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。

微粒波的波长λ服从下式：/u v λ=式中，u 是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了/u v λ=，显然是错的。

在④中，E hv =无疑是正确的，这里的E 是微粒的总能量。

若计及E 中的势能，则⑤也不正确。

【1.7】子弹（质量0.01kg ，速度1000m ·s -1），尘埃（质量10-9kg ，速度10m ·s -1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg ，速度1m ·s -1）、原子中电子（速度1000 m ·s -1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：子弹：343416.2610 6.63100.01100010%h J sx m m v kg m s ---⨯⋅∆===⨯⋅∆⨯⨯⋅尘埃：3425916.62610 6.6310101010%h J s x m m v kg m s ----⨯⋅∆===⨯⋅∆⨯⨯⋅ 花粉：34201316.62610 6.631010110%h J s x m m v kg m s ----⨯⋅∆===⨯⋅∆⨯⨯⋅电子：3463116.626107.27109.10910100010%h J s x m m v kg m s ----⨯⋅∆===⨯⋅∆⨯⨯⨯⋅【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V ，电子运动速度的不确定度υ∆为υ的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：34102/3.8810h x m m eV m mυ--==⨯==⨯这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。

人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。

因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约610m -）观察不到电子衍射（用100000V 电压加速电子）。

解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：9911 1.22610/1.22610100001.22610x h h x m p h Vmm λ---===⨯=⨯=⨯ 这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。

解法二：若电子位置的不确定度为10－6m ，则由不确定关系决定的动量不确定度为：3462816.62610106.62610x h J sp x m J s m ----⨯∆==∆=⨯在104V 的加速电压下，电子的动量为：2315.40210x x p m J s m υ--====⨯由Δp x 和p x 估算出现第一衍射极小值的偏离角为：2812315arcsin arcsin6.62610arcsin 5.40210arcsin100xxop p J s m J s m θθ-----∆==⎛⎫⨯ ⎪⨯⎝⎭≈这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。

因此，用光学光栅观察不到电子衍射。

【1.11】2ax xe ϕ-=是算符22224d a x dx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的本征函数，求其本征值。

解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：22222222244ax d d a x a x xe dx dx ψ-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2222224ax axdxe a x xe dx --=-()22222222232323242444ax ax ax ax ax ax ax d e ax e a x e dxaxe axe a x e a x e -------=--=--+-266axaxe a ψ-=-=-因此，本征值为6a -。

【1.12】下列函数中，哪几个是算符22d dx 的本征函数？若是，求出本征值。

3,sin ,2cos ,,sin cos x e x x x x x +解：2x2d e d x =，x e 是22d d x 的本征函数，本征值为1。

22d sin x 1sin x,d x =⨯sin x 是22d d x 的本征函数，本征值为1。

22d (2cos x )2cos x d x =【1.13】im e φ和cos m φ对算符did φ是否为本征函数？若是，求出本征值。

解：im im d i e ie d φφφ=，im im me φ=-所以，im e φ是算符did φ的本征函数，本征值为m -。

而()cos sin sin cos d i m i m m im m c m d φφφφφ=-=-≠所以cos m φ不是算符did φ的本征函数。

【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为()n n x x l πϕ=1,2,3n =⋅⋅⋅ 式中l 是势箱的长度，x 是粒子的坐标)x l <，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。

解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：222n 222h d n πx h d n πx ˆH ψ(x )-)-)8πm d x l 8πm d x l ==(sin )n n n xl l l πππ=⨯-22222222()88n h n n x n h x m l l ml ππψπ=-⨯= 即：2228n h E ml =（2）由于ˆˆx ()(),x n n x c x ψψ≠无本征值，只能求粒子坐标的平均值：()()x l x n sin l x l x n sin l x x ˆx x l *ln l*n d 22d x 000⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππψψ()x l x n cos x l dx l x n sin x l l l d 22122002⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ2000122sin sin d 222l l l x l n x l n x x x l n l n l ππππ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰ 2l =（3）由于()()ˆˆp,p x n n x x c x ψψ≠无本征值。

按下式计算p x 的平均值:()()1*ˆd x n x n p x px x ψψ=⎰0d 2n x ih d n x x l dx l πππ⎛=- ⎝⎰20sin cos d 0l nih n x n x x l l l ππ=-=⎰【1.16】求一维势箱中粒子在1ϕ和2ϕ状态时，在箱中0.49~0.51l l 范围内出现的概率，并与图1.3.2（b ）相比较，讨论所得结果是否合理。

解：（a ）()1x x l πψ= ()2212sin xx l l πψ=()22x x l πψ=()22222sin x x l l πψ= 由上述表达式计算()21x ψ和()22x ψ，并列表如下： /x l 01/8 1/4 1/3 3/8 1/2 ()211/x l ψ- 00.293 1.000 1.500 1.726 2.000 ()212/x lψ- 01.0002.0001.5001.000/x l5/8 2/3 3/4 7/8 1 ()211/x l ψ-1.726 1.500 1.000 0.293 0 ()212/x l ψ-1.0001.5002.0001.000根据表中所列数据作()2n x x ψ-图示于图1.16中。

图1.16（b ）粒子在1ψ状态时，出现在0.49l 和0.51l 间的概率为：()0.512110.49llP x dxψ=⎰20.510.49ll x dx l π⎫=⎪⎪⎭⎰0.5120.490.510.492sin 22sin 24llllx dxl l x l x l l πππ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰()0.510.4912sin210.02sin1.02sin 0.9820.0399llx x l l πππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=--=粒子在ψ2状态时，出现在0.49l 和0.51l 见的概率为：x / lψ21 (x )/l-1ψ22x /l-1x / l()0.512220.4920.510.490.5120.490.510.490.510.49222sin 24sin 2814sin40.51140.510.49140.49sin sin 440.0llll llllllP x dxx dx l xdx l l x l x l l x x l l l l l l l l l l ψππππππππππ=⎫=⎪⎪⎭=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⨯⨯⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≈⎰⎰⎰001（c ）计算结果与图形符合。