青岛市中考数学23 题汇编1.(07 年中考 )提出问题：如图①，在四边形 ABCD 中， P 是 AD 边上任意一点， PBC 与 ABC 和 DBC 的面积之间有什么关系？ 探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手 :⑴当 AP1AD 时 (如图② )：2Q AP 1 AD, ABP 和 ABD 的高相等，2SABP1 S ABD .2Q PD AD AP1AD , CDP 和 图①CDA 的高相等，2S CDP 1 S CDA2图②S PBC S 四边形ABCDS ABPSCDPS 四边形ABCD1S ABD1S CDA22⑵ 当 AP1AD 时 ， 探 求 S PBC 与 S ABC和S 四边形ABCD1S四边形 ABCDSDBC1 S 四边形 ABCD S ABC3221S DBC 1 S ABC22S DBC 之间的关系，写出求解过程；⑶当 AP 1AD 时， S PBC 与 S ABC 和 S DBC 之间的关系式为：__________________________ ；6⑷一般的，当 AP1AD (n 表示正整数 )时，探求 S PBC 与 SABC和S DBC之间的关系,写出求解过程；n问题解决：当 APmAD ( 0m1)时， S PBC 与 S ABC 和 S DBC 之间的关系式为 :__________________.nn2. (08 年中考 )：某学校共有18 个教学班，每班的学生数都是40 人 .了解学生余上网情况，学校打算做一次抽，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10 人在同一班，那么全校最少需要抽取多少名学生？建立模型：解决上面的“ ”，我先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型.在不透明的口袋中装有、黄、白三种色的小球各20 个 (除色外完全相同)，要确保从口袋中随机摸出的小球至少有 10 个是同色的，最少需要摸出多少个小球？了找到解决的法，我可以把上述化，⑴我首先考最的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有 2 个是同色的，最少需摸出多少个小球？假若从袋中随机摸出 3 个小球，它的色可能会出多种情况，其中最不利的情况就是它的色各不相同，那么只需再从袋中摸出 1 个小球就可确保至少有 2 个小球同色，即最少需摸出的小球的个数是： 1 3 4 (如①)；⑵若要确保从口袋中摸出的小球至少有 3 个是同色的呢？我只需在⑴的基上，再从袋中摸出 3 个小球，就可确保至少有 3 个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：13 2 7 (如②)；⑶若要确保从口袋中摸出的小球至少有 4 个是同色的呢？我只需在⑵的基上，再从袋中摸出 3 个小球，就可以确保至少有 4 个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1 3 3 10(如③)；⋯⋯⑽若要确保从口袋中摸出的小球至少有10 个是同色的呢？我只需在⑼的基上，再从袋中摸出 3 个小球，就可以确保至少有10 个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1 310 128 (如⑩).黄9 个黄黄9 个黄黄黄⋯黄黄黄黄白白白白白白白白白白或黄或白或黄或白或黄或白或黄或白①②③⑩模型拓展一：在不透明的口袋中装有、黄、白、、五种色的小球各20 个 ( 除色外完全相同) ，从袋中随机摸球：⑴若要确保摸出的小球至少有 2 个同色，最少需摸出小球的个数是___________________ ；⑵若要确保摸出的小球至少有10 个同色，最少需摸出小球的个数是___________________；⑶若要确保摸出的小球至少有n 个同色 (n<20) ，最少需摸出小球的个数是___________________.模型拓展二：在不透明的口袋中装有m 种色的小球各20 个 ( 除色外完全相同) ，从袋中随机摸球：⑴若要确保摸出的小球至少有 2 个同色，最少需摸出小球的个数是___________________ ；⑵若要确保摸出的小球至少有n 个同色 (n<20) ，最少需摸出小球的个数是___________________.解决：⑴ 把本中的“ ” 化一个从口袋中摸球的数学模型；⑵根据⑴中建立的数学模型，求出全校最少需要抽取多少名学生.3.(09 年中考 )我们在解决数学问题时，经常采用“转化”(或“化归” )的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题.譬如在学习一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题.问题提出：如何把一个正方形分割成n( n9 )个小正方形？为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法”.基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成 4 个小正方形，即在原来 1 个正方形的基础上增加了 3 个正方形 .基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成 6 个小正方形，即在原来 1 个正方形的基础上增加了 5 个正方形 .图①图②图③图④图⑤图⑥问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n( n9 )个小正方形.⑴把一个正方形分割成9 个小正方形 .一种方法：如图③，把图①中的任意 1 个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加 5 个小正方形，从而分割成4+5=9( 个 )小正方形 .另一种方法：如图④，把图②中的任意 1 个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加 3 个小正方形，从而分割成 6+3=9( 个 )小正方形 .⑵把一个正方形分割成10 个小正方形 .方法：如图⑤，把图①中的任意 2 个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3× 2 个小正方形，从而分割成 4+3× 2=10( 个 )小正方形 .⑶请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11 个小正方形 ( 用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法 ).⑷把一个正方形分割成 n( n 9 )个小正方形 .方法：通过“基本分割法 1”“基本分割法 2”或其组合把一个正方形分割成9 个、 10 个、 11 个小正方形，再在此基础上每使用 1 次“基本分割法 1”，就可增加 3 个小正方形，从而把一个正方形分割成12 个、 13 个、 14 个小正方形，以此类推，即可把一个正方形分割成n( n 9)个小正方形 .从上面的方法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成 n( n 9 )个小正方形 .n( n 9 )个小正三角形 .类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成⑴基本分割法 1：把一个正三角形分割成 4 个小正三角形(请你在图 a 中画出草图 ).⑵基本分割法 2：把一个正三角形分割成 6 个小正三角形(请你在图 b 中画出草图 ).⑶分别把图 c、图 d 和图 e 种的正三角形分割成9 个、 10个和 11 个小正三角形 (用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法 ).图 a图b⑷请你写出把一个正三角形分割成答：图 c图dn( n9 )个小正三角形的分割方法图 e(只写出分割方法，不用画图).4.(10 年中考 )问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切．．．．入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O 周围围绕着 4 个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______ 个正六边形的内角.问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形内角特点.具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角 .验证 1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x 个正方形和y 个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程：8218090x8y 360 ，整理得：2x+3 y=8，我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为x 1. y 2结论 1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕这 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由.验证 2：结论 2： ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程.猜想 3： _________________________________________________________________________________.验证 3：结论 3： ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 5.(11 年中考 )问题提出我们在分析解决数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小 .解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一，所谓“作差法” ：就是通过作差变形，利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式 M 、N 的大小，只要作出它们的差 M N ，若 M N0，则 M N ；若 M N 0 ，则 MN ；若 M N 0 ，则 MN .问题解决如图①， 把边长为 a+b 的大正方形 (a ≠b )分割成两个边长分别是 a ，b 的小正方形以及两个矩形， 试比较两个小正方形的面积之和 M 与两个矩形面积之和 N 的大小 .由图可知， Ma2b 2， N 2ab ，abM N a 2 b 2 2abaaa 2b .Qa b ，bb2a 0 ，b a图①bM N .类比应用⑴已知小明和小亮购买同一种商品的平均价格分别为a b元 /千克，2ab元/ 千克，试比较小明和小亮所购商品的平均2a b价格的高低 (a ， b 是正数，且 a ≠b ).解：类比应用⑵试比较图②、图③两个矩形的周长M 1 、N 1(b>c )的大小 .a+bb+3 cb+ca-c图②图③解：拓展应用小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④ (0<c<a<b )，售货员分别按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由.cba 图④图⑤ 图⑥ 图⑦解：。