E
A
D
B
C
解答第 4 题图 练习： 23（本题共 2 小题，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分，满分 12 分） 如图，已知在△ABC 中，AB = AC = 8，cos B 5 ，D 是边 BC 的中点，点 E、F 分在边 AB、AC 上，且∠EDF
8 =∠B，联结 EF．
（1）如果 BE = 4，求 CF 的长； （2）如果 EF // BC，求 EF 的长．
条。
3、如图，在△ABC 中，∠C＝900，AC＝8，CB＝6，在斜边 AB 上取一点 M，使 MB＝CB，过 M 作 MN⊥AB
交 AC 于 N，则 MN＝
。
A P
C N
A D
B
C
第 1 题图
B
M
A
第 3 题图
B
EC
第 5 题图
4、一个钢筋三角架长分别为 20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有 种。
5、如图，在锐角△ABC 中，BD⊥AC，DE⊥BC，AB＝14，AD＝4，BE∶EC＝5∶1，则 CD＝
。
二、选择题：
1、下面两个三角形一定相似的是（ ）
A、两个等腰三角形
B、两个直角三角形
C、两个钝角三角形
D、两个等边三角形
2、如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，EA 分别交 CD、BD 的延长线于点 F、G，则图中相
8 10
4
25. 解：（1）由正方形 ABCD 得∠ABD=∠DBC．当∠BEP=∠BEQ 时，因为∠PBE=∠QBE，BE=BE，所以，PBE
B
≌ QBE ，得 PB=QB，即 8 x 2x ，解得 x 8 ，即点 P 出发 8 秒后，∠BEP=∠BEQ（ 2 ）．
3
3
（2）当点 Q 在线段 BC 上运动时，如图 1，过点 E 作 MN BC，垂足为 M，交 AD 于点 N，作 EH AB，垂足
1 2
AP
EH
1 2
x
32 12
x
16x 12 x
，即
y
16x 12 x
(1
)，综上所述，
y
关于
x
的函数解析式为
y 4x2 （ 0 x 4 ）； y 8 （ x 4 ）； y 16x （ 4 x 8）．
4 x
12 x
A
D
P E
B
QC
AN
D
H
E
B MQ C
备用图 1
A
D
H
M
EQ
∵∠EDC =∠B +∠BED =∠EDF +∠CDF，∠EDF =∠B，
∴∠BED =∠CDF．…………………………………………………………（1 分）
∵AB = AC，∴∠B =∠C．
∴△BDE∽△CFD．∴ BE BD ．………………………………………（1 分） CD CF
∵BE = 4， CF 25 ．………………………………………………………（1 分） 4
∽ DEA ， 得 BQ EM ， 即 2x EM ， 解 得 EM 8x ， 即 EH= 8x （ 2 ） ， 所 以
AD EN
8 8 EM
4 x
4 x
SAPE
1 2
AP EH
1 2
x
8x 4 x
4x2 4 x
，即
y
4x2 4 x
（ 2 ）
②当 x 4 时，点 Q 与点 C 重合．此时 y 8 （1 ）；
（2）∵△BDE∽△CFD，∴ BE DE ．………………………………………（1 分） CD FD
∵BD = CD，∴ BE E FD
又∠EDF =∠B，∴△BDE∽△DFE．∴∠BED =∠DEF．………………（1 分）
∵EF // BC，∴∠BDE =∠DEF．……………………………………………（1 分）
似三角形共有（ ）
A、3 对
B、4 对
C、5 对
D、6 对
E
AB
B
A
F
A
C
D
A P
F
B
E
选择第 2 题图
GB
E
F
解答第 1 题图
C
C
D
解答第 2 题图
D
C
解答第 3 题图
三、解答题：
1、如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝900，AB＝BE＝EF＝FC。求证：△AEF∽△CEA。
2、如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥DC，DE⊥AC 于 E，交 AB 于 F。求证：△AFD∽△ADB。
AQ，交 BD 于点 E.设点 P 运动时间为 x 秒.
（1）当点 Q 在线段 BC 上运动时，点 P 出发多少时间后，∠BEP 和∠BEQ 相等；
（2）当点 Q 在线段 BC 上运动时，求证： BQE 的面积是 APE 的面积的 2 倍；
（3）设 APE的面积为 y ，试求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域.
P
B
C
备用图 2
A
D
A
D
A
D
P E
B
QC
B 备用图 C
B 备用图
C
23（本题共 2 小题，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分，满分 12 分）
解：（1）联结 AD．
∵AB = AC = 8，D 是边 BC 的中点，∴AD⊥BC．………………………（1 分）
在 Rt△ABD 中， cos B BD 5 ，∴BD = CD = 5．……………………（1 分） AB 8
F
A
E
B
DC
例2图
变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？
A
E
B
D
C
F
例 2 变式图 1
C D
E
F
A
B
例 2 变式图 2
【例 3】如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，BE⊥CD 于 E，且 BC＝BD，对角线 AC、BD 相交于 G，AC、BE
相交于 F。求证： FC2 FG FA。
知识考点：
本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的 基础知识尤为重要。
精典例题：
【例 1】如图，点 O 是△ABC 的两条角平分线的交点，过 O 作 AO 的垂线交 AB 于 D。求证：△OBD∽△ CBO。
A
D5
3
4O
1
2
B
C
例1图
变式 1：已知如图，在△ABC 中，AD＝AE，AO⊥DE 于 O，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，BO 平分∠ABC。
3、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝900，AB＝3，DC＝7，AD＝15，请你在 AD 上找一点 P，使 得以 P、A、B 和以 P、D、C 为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的 P 点有几个？并求出 AP 的长；若不能， 请说明理由。
4、在边长为 1 的正方形网格中有 A、B、C、D、E 五个点，问△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？由此， 你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。
求证： BO2 BD BC 。
A
D
E
O
C
B 变式 1 图
变式 2：已知如图（同变式 1 图），在△ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点 O 作直线交 AB 于 D，交 AC 于 E，且 AD＝AE。
求证：（1）△BDO∽△OEC；（2） DO2 BD CE 。
【例 2】如图，在△ABC 中，∠BAC＝900，AD⊥BC 于 D，E 为 AC 中点，DE 交 BA 的延长线于 F。求证： AB∶AC＝BF∶DF。
为 H．因为∠ABD=∠DBC，EH AB，EM BC，得 EH=EM.又因为 BQ= 2x ，AP=1x ，得 BQ=2AP（ 2 ）而
SAPE
1 2
AP
EH
，
SBQE
1 2
BQ EM
1 2
2AP EH
AP
EH
,所以 SBQE
2SAPE
（ 2 ）．
（3）①当 0 x 4 时，点 Q 在 BC 边上运动．由正方形 ABCD 得 AD∥BC，可得 MN AD．由 AD∥BC 得 BEQ
A
D
G E
F
B
C
例3图
探索与创新： 【问题一】如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝ 6 ，AD＝2。问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相
似？
A
D
B
C
问题一图
【问题二】已知如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，点 Q 在线段 BC 上，设 BQ＝ k ，是否 存在这样的实数 k ，使得 Q、C、P 为顶点的三角形与△ADP 相似，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理
A
E
F
B
D
C
（第 23 题图）
25. （本题满分 14 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，动点 P 从点 A 出发沿 AB 边由 A
B 向 B 以 1 厘米/秒的速度匀速移动（点 P 不与点 A、B 重合），动点 Q 从点 B 出发沿折线 BC-CD
以 2 厘米/秒的速度匀速移动.点 P、Q 同时出发，当点 P 停止运动，点 Q 也随之停止．联结
∴∠BDE =∠BED．∴BE = BD = 5．………………………………………（1 分）