第二节 合情推理与演绎推理高考试题考点一 合情推理1.(2011年江西卷,理7)观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )(A)3125 (B)5625 (C)0625 (D)8125解析:∵55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,…,∴5n(n ∈Z 且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化,记5n(n ∈Z 且n ≥5)的末四位数为f(n),则f(2011)=f(501×4+7)=f(7), ∴52011与57的末四位数字相同,均为8125.答案:D2.(2012年湖北卷,理13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则 (1)4位回文数有 个;(2)2n+1(n ∈N +)位回文数有 个.解析:1位回文数有9个,2位回文数有9个,3位回文数有90=9×10个,4位回文数有1001,1111,1221,…,1991,2002,…,9999,共90个,5位回文数中,首末位数字不能为0,有9种选法,第2、4位数字有10种选法,第3位数字有10种选法,故5位回文数共有9×102=900个,故猜想2n+1(n ∈N +)位回文数有9×10n个.答案:(1)90 (2)9×10n3.(2013年陕西卷,理14)观察下列等式: 12=1,12-22=-3,12-22+32=6,12-22+32-42=-10,…照此规律,第n 个等式可为 .解析:观察规律可知,第n 个式子为12-22+32-42+…+(-1)n+1n 2=(-1)n+1()12n n +.答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n 2=(-1)n+1()12n n +4.(2012年陕西卷,理11)观察下列不等式 1+212<32, 1+212+213<53, 1+212+213+214<74, …照此规律,第五个不等式为 .解析:从几个不等式的左边分析,可得出第五个不等式的左边为1+212+213+214+215+216;从几个不等式的右边分析,其分母依次为:2,3,4, 所以第五个不等式的分母应为6, 而其分子依次为:3,5,7, 所以第五个不等式的分子应为11, 所以第五个不等式应为 1+212+213+214+215+216<116. 答案:1+212+213+214+215+216<1165.(2009年江苏卷,8)在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .解析:两个正三角形是相似的三角形, ∴它们的面积之比是相似比的平方,同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方, ∴它们的体积比为1∶8. 答案:1∶8考点二 演绎推理1.(2010年福建卷,理6)如图所示,若Ω是长方体ABCD A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1得到的几何体,其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点,F 为线段BB 1上异于B 1的点,且EH ∥A 1D 1,则下列结论中不正确的是( )(A)EH ∥FG (B)四边形EFGH 是矩形 (C)Ω是棱柱 (D)Ω是棱台 解析:因为EH ∥A 1D 1,A 1D 1∥B 1C 1, 所以EH ∥B 1C 1, 又EH ⊄平面BCC 1B 1, 所以EH ∥平面BCC 1B 1,又EH ⊂平面EFGH,平面EFGH ∩平面BCC 1B 1=FG, 所以EH ∥FG, 故EH ∥FG ∥B 1C 1, 所以选项A 、C 正确;因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,EH ∥A 1D 1, 所以EH ⊥平面ABB 1A 1, 又EF ⊂平面ABB 1A 1, 故EH ⊥EF,所以选项B 也正确,故选D. 答案:D2.(2012年福建卷,理17)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°;sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos 48°;sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择第2个式子,计算如下: sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30° =1-14=34. (2)三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)= 34. 证明如下:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)=sin 2α+34cos 2αsin αcos α+14sin 2αsin αcos α-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34. 模拟试题考点一 合情推理1.(2012汕头质检)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm ”类比得到“a ·b=b ·a ”;②“(m+n)t=mt+nt ”类比得到“(a+b)·c=a ·c+b ·c ”; ③“(m ·n)t=m(n ·t)”类比得到“(a ·b)·c=a ·(b ·c)”; ④“t ≠0,mt=xt ⇒m=x ”类比得到“p ≠0,a ·p=x ·p ⇒a=x ”; ⑤“|m ·n|=|m|·|n|”类比得到“|a ·b|=|a|·|b|”; ⑥“ac ba =a b”类比得到“⋅⋅a c b a =a b ”.以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:显然①②正确;对于③(a ·b)·c 、a ·(b ·c)分别表示与c 、a 共线的向量,故③错;由向量数量积的定义知④⑤⑥错.故选B. 答案:B2.(2013北京市东城区高三上学期期末)定义映射f:A →B,其中A={(m,n)|m,n ∈R},B=R,已知对所有的有序正整数对(m,n)满足下述条件:①f(m,1)=1,②若n>m,f(m,n)=0;③f(m+1,n)=n[f(m,n)+f(m,n-1)],则f(2,2)= ;f(n,2)= .解析:根据已知得,f(1,2)=0=21-2,f(2,2)=f(1+1,2)=2[f(1,2)+f(1,1)]=2f(1,1) =2×1=2,f(3,2)=f(2+1,2)=2[f(2,2)+f(2,1)]=2×(2+1) =6=23-2,f(4,2)=f(3+1,2)=2[f(3,2)+f(3,1)]=2×(6+1) =14=24-2,f(5,2)=f(4+1,2)=2[f(4,2)+f(4,1)]=2×(14+1) =30=25-2,所以根据归纳推理可知f(n,2)=2n-2.答案:2 2n-23.(2011杭州市第一次质检)设n为正整数,f(n)=1+12+13+…+1n,计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为.解析:f(2)=f(21)=12 2+,f(4)=f(22)>2=22 2+,f(8)=f(23)>52=322+,f(16)=f(24)>3=422+,…,f(2n)≥22n+(n∈N*).答案:f(2n)≥22n+(n∈N*)考点二演绎推理1.(2010绍兴调研)有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α,则直线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为( )(A)大前提错误(B)小前提错误(C)推理形式错误(D)非以上错误解析:大前提:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的.答案:A2.(2013北京市丰台区期末)下表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为a ij(i≥j,i,j∈N*),则a53等于,a mn= (m≥3).141 2, 1 434,38,316 …解析:由题意可知第一列首项为14,公差d=12-14=14,第二列的首项为14,公差d=38-14=18, 所以a 51=14+4×14=54,a 52=14+3×18=58, 所以第5行的公比为q=5251a a =12, 所以a 53=a 52q=58×12=516.由题意知a m1=14+(m-1)×14=4m , 第m 行的公比q=12, 所以a mn =a m1q n-1=4m ×12⎛⎫ ⎪⎝⎭n-1=12n m+,m ≥3. 答案:51612n m +综合检测1.(2012无锡一模)下面几种推理过程是演绎推理的是( )(A)某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人 (B)由三角形的性质,推测空间四面体的性质(C)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 (D)在数列{a n }中,a 1=1,a n =12(a n-1+11n a -),由此归纳出{a n }的通项公式 解析:选项A 、D 是归纳推理;选项B 是类比推理;选项C 运用了“三段论”是演绎推理. 答案:C2.(2012青州月考)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为1n(n ≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,则第10行第4个数(从左往右数)为( )(A)11260 (B)1840(C)1504 (D)1360解析:三角形数阵可改写为11112C 1112C 0213C 1213C 2213C 0314C 1314C 2314C 3314C 0415C 1415C 2415C 3415C 4415C……因此第n 行的第k 个数(从左往右数)为111C k n n --(k ≤n,n ≥2,n ∈N,k ∈N *),则第10行第4个数为39110C =1840. 答案:B3.(2013北京市朝阳区高三上学期期末)将连续整数1,2,…,25填入如图所示的5行5列的表格中,使每一行的数从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值为 ,最大值为 .解析:因为第3列前面有两列,共有10个数分别小于第3列的数,因此:最小为:3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列,共有10个数分别大于第3列的数,因此:最大为:23+20+17+14+11=85. 答案:45 854.(2011苏州模拟)已知结论:“在三边长都相等的△ABC 中,若D 是BC 的中点,G 是△ABC 外接圆的圆心,则AGGD=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中,若M 是△BCD 的三边中线的交点,O 为四面体ABCD 外接球的球心,则AOOM= .”解析:如图所示,易知球心O 在线段AM 上, 不妨设四面体ABCD 的棱长为1,外接球的半径为R,则×23,,解得.于是,AOOM=3.答案:3。