（五） 、 已 知 向 量 组 α 1= （ 1,2,1,0 ） T ， α 2= （ 4,5, 0,5 ） T, α3=(1,-1,-3,5)T, α4=(0,3,1,1)T,求： (1),该向量组的秩及其一个极大线性无关组。 (2) ,当α1α2α3α4 线性相关时， 将其余向量用该极大无关组线性 表示 X1 − X 2 + aX 3 = 2 （六） 、 a 为何值时非齐次线性方程组 X1 − aX 2 − 2X 3 = −1 , 5X1 − 5X 2 − 4X 3 = 1 无解、有唯一解和有无穷个解，并写出无穷个解时的通解。 （七） 、 已知二次型 f （X1， X2， X3） =aX12+X22+X32+2X1X2+2X1X3 的秩为 2 (1),求 a 的值。 (2),求一个正交变换 X=Qy，化此二次型为标准型，并判断其 是否正定。 （八） 、已知α、β 均为n 维列向量，αT β=2，设 A=E+αβT ，求 |A|和 A-1。
4、设α1α2α3且齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，则 下列也是其基础解系的是____ A．α1−α2，α2+α3, α3+α1 B. α1+α2，α2−α3, α3+α1 C. α1, α1−α2，α1− α2−α3 D. α1- α2,α2−α3,α3−α1 5、设 A 为四阶矩阵，A2+A=0，2 B.2 C.-8 D.8
合肥工业大学大一年级第二学期线性代数期末考试 一、 填空题（20 分） x 1 1、 f(x)= 3 1 1 2、 A= 0 0 1 3、 A= 0 0 0 2 0 1 1 0 1 x 2 1 1 2 1 −1 中 X3 的系数是____ x 1 2x 1 3 0 ,则 A*=____ 4 0 0 ,则 An=____ 1
2、已知 A、B 均为 n 阶矩阵，则必有___ A.(AB)2=A2B2 C.(AB)-1=A-1B-1 B.(AB)T=ATBT D.|AB|=|A||B|
3、 设向量组 A： α1α2 … αr，可由向量 B：βββ 线性表示，则 以下正确的是____ A.R(A)≤R(B) C.R(A)=R(B) B. R(B)≤R(A) D.R(A)≠R(B)
4、 已知 a1、a2、a3 线性无关，若 ka1-a2，a2-a3，a3-a1 线性 相关，则 k=___ a 2 5、 若矩阵 A= −4 与 B= 0 1 0 二、 单选题（20 分） 1、 设三阶方阵 A，将 A 的第一行与第二行交换得 B，将 B 的第二行加到第三行得 C， 满足 PA=C 的矩阵 P 等于=___ 0 A. 1 0 0 C. 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 B. 1 1 0 D. 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 相似，则 a=____ 1
/*答案尚未公布，公布后会马上发出*/
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三、计算题（三四五每题各 10 分，六七题 12 分，第八题 6 分，共计 60 分） 1 （三） 、设 D4= 0 1 5 0 1 2 1 −1 3 ，M 和 A 分别表示 D4 第 i 行 ij ij 1 1 0 2 −1 4
第 j 列位置的余子式和代数余子式，计算： 1、A12-A22+A32-A42 2、-M41+M42-M43+M44 0 （四） 、设矩阵 A= −1 −1 求矩阵 X. −1 1 0 1 1 ，B = 0 −3 0 −1 1 2 ，且 X=AX+B, 5