7对自由落体运动的研究[学习目标] 1.知道物体做自由落体运动的条件，知道自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动.2.会探究自由落体运动规律和测定自由落体运动的加速度.3.了解伽利略研究自由落体运动所用的实验和推理方法．一、自由落体运动1．对下落物体的认识(1)古希腊哲学家亚里士多德提出了物体越重下落越快的观点．(2)通过实验说明造成“重快轻慢”的真正原因是：空气对物体的阻碍作用．2．自由落体运动(1)①定义：只在重力的作用下，物体由静止开始下落的运动．②实际自由下落物体可看做自由落体运动的条件，空气阻力比较小，可以忽略．(2)特点①初速度为零．②只受重力作用．二、伽利略对落体运动规律的探究1．发现问题伽利略根据亚里士多德的观点得出了相互矛盾的结论，说明亚里士多德的观点是错误的．2．提出假说物体下落的过程是一个速度逐渐增大的过程，其速度与时间成正比，即v∝t；物体下落的距离与时间的平方成正比，即h∝t2.3．间接验证让小球从阻力很小的斜面上滚下，由静止开始到每个相等的时间间隔末物体运动的距离之比为1∶4∶9∶16…，证明了h∝t2，也证明了v∝t.4．合理外推伽利略设想将斜面倾角外推到90°时，小球的运动就成为自由下落，伽利略认为小球仍会做匀变速直线运动．三、自由落体加速度1．概念自由落体运动的加速度称为自由落体加速度或重力加速度．2．大小重力加速度的大小在地球上纬度和海拔不同的区域略有差别．计算中通常取g ＝9.8 m /s 2，在粗略计算中还可以取g ＝10 m/s 2. 3．方向重力加速度的方向竖直向下．1．判断下列说法的正误．(1)在空气中自由释放的物体都做自由落体运动．(×) (2)物体在真空中一定做自由落体运动．(×)(3)由静止释放的物体只在重力作用下一定做自由落体运动．(√) (4)质量越大的物体自由落体加速度越大．(×) (5)自由落体加速度的方向垂直地面向下．(×)(6)伽利略通过实验的观察与计算，直接得到自由落体运动的规律．(×) (7)伽利略根据斜面实验结论进行合理的外推，得到自由落体运动的规律．(√)2.在研究物体仅在重力作用下运动的实验中，打点计时器所用电源的频率为50 Hz ，实验中得到一条点迹清晰的纸带，把一个点记作O ，另选连续的4个点A 、B 、C 、D 作为测量点，每两个测量点之间有4个实际打出的点(未标出)，如图1所示，图中所标数据是各测量点到O 点的距离(单位：mm)，那么物体做________运动，加速度为________．图1答案 匀变速直线 9.8 m/s 2 解析 因为打点周期T ′＝0.02 s ， 所以各测量点之间的时间间隔为 T ＝5×T ′＝0.1 s.由纸带数据得h OA ＝49 mm ，h AB ＝147 mm ，h BC ＝245 mm ，h CD ＝343 mm ，即Δh ＝h AB －h OA＝h BC －h AB ＝h CD －h BC ＝98 mm ，物体做匀变速直线运动，其加速度a ＝Δh T 2＝98×10－310－2 m /s 2＝9.8 m/s 2.一、自由落体运动1．自由落体运动(1)自由落体运动实质上是初速度v0＝0，加速度a＝g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的一个特例．(2)自由落体运动是一种理想化的运动模型．只有当空气阻力比重力小得多，可以忽略时，物体的下落才可以当成自由落体运动来处理．(3)运动图像：自由落体运动的v－t图像是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g，如图2所示．图22．自由落体加速度(重力加速度)(1)方向：总是竖直向下，但不一定垂直地面；(2)大小：①在同一地点，重力加速度都相同．②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大，但各处的重力加速度都接近于9.8 m/s2，因此一般计算中g取9.8 m/s2或10 m/s2.例1(多选)关于自由落体运动及重力加速度的说法，正确的是()A．竖直向下的运动一定是自由落体运动B．熟透的苹果从树枝开始自由下落的运动可近似认为是自由落体运动C．同一地点，轻重物体的g值一样大D．g值在赤道处大于在北极处答案BC解析物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该过程近似认为是自由落体运动，B对；同一地点，重力加速度都相同，与质量无关，C对；赤道处g 值小于北极处，D错．针对训练1关于自由落体运动，下列说法正确的是()A．质量大的物体自由下落时的加速度大B．雨滴下落的过程是自由落体运动C．从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动D．从二楼阳台由静止释放的石块，可近似看做自由落体运动答案D解析自由下落的物体的加速度相同，都是重力加速度g，A错误；雨滴下落过程中的空气阻力不能忽略，B 错误；从水平飞行着的飞机上释放的物体不是从静止开始下落即初速度不为零，C 错误；从二楼阳台由静止释放的石块，重力远大于阻力，可近似看做自由落体运动，D 正确．二、自由落体运动的规律 1．自由落体运动的基本公式匀变速直线运动规律――→特例自由落体运动规律 ⎩⎪⎨⎪⎧ v t ＝v 0＋at x ＝v 0t ＋12at 2――→v 0＝0a ＝g ⎩⎪⎨⎪⎧v t ＝gt h ＝12gt2 2．匀变速直线运动的一切推论公式，如平均速度公式、位移差公式，都适用于自由落体运动．例2 从离地面500 m 的空中由静止自由落下一个小球，取g ＝10 m/s 2，求小球：(阻力可忽略) (1)落到地面所用的时间；(2)自开始下落计时，在第1 s 内的位移、最后1 s 内的位移． 答案 (1)10 s (2)5 m 95 m解析 (1)由h ＝12gt 2得落地所用时间：t ＝2h g＝2×50010s ＝10 s. (2)第1 s 内的位移：h 1＝12gt 12＝12×10×12 m ＝5 m因为从开始运动起前9 s 内的位移为 h 9＝12gt 92＝12×10×92 m ＝405 m所以最后1 s 内的位移为Δh ＝h －h 9＝500 m －405 m ＝95 m.例3 如图3所示，一滴雨滴从离地面20 m 高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt ＝0.2 s 的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m ，g 取10 m/s 2，问：图3(1)雨滴落地时的速度大小；(2)雨滴落地前最后1 s 内的位移大小； (3)屋檐离窗的上边框有多高？ 答案 (1)20 m/s (2)15 m (3)4.05 m解析 (1)设雨滴自由下落时间为t ，根据自由落体运动公式h ＝12gt 2得t ＝2 s.则雨滴落地时的速度v ＝gt ＝20 m/s. (2)雨滴在第1 s 内的位移为h 1＝12gt 12＝5 m则雨滴落地前后最后1 s 内的位移大小为h 2＝h －h 1＝15 m.(3)由题意知窗口的高度为h 3＝2 m ，设屋檐距窗的上边框h 0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框时间为t 0，则h 0＝12gt 02.又h 0＋h 3＝12g (t 0＋Δt )2联立解得h 0＝4.05 m.针对训练2 设宇航员在某行星上从高32 m 处自由释放一重物，测得在下落最后1 s 内所通过的距离为14 m ，则重物下落的时间是多少？该星球表面的重力加速度为多大？ 答案 4 s 4 m/s 2解析 设重物下落的时间为t ，星球表面的重力加速度为g 0，则由h ＝12g 0t 2得32 m ＝12g 0t 2①32 m －14 m ＝12g 0(t －1)2②由①②解得t ＝4 s ，g 0＝4 m/s 21．(重力加速度及自由落体运动的理解)(多选)在忽略空气阻力的情况下，让一轻一重的两块石块从同一高度同时自由下落，则关于两块石块的运动情况，下列说法正确的是( ) A ．重的石块落得快，先着地 B ．轻的石块落得快，先着地C ．在着地前的任一时刻，两块石块具有相同的速度、相同的位移、相同的加速度D ．两块石块在下落时间段内的平均速度相等 答案 CD解析 两石块都做自由落体运动，运动规律相同且具有相同的加速度，由于从同一高度下落，落地时间必然相同，故A 、B 错误．因h 、t 相同，故v ＝ht 必相同，D 正确．由v t ＝gt 和h＝12gt 2可知，C 正确． 2．(伽利略对自由落体运动的研究)(多选)图4大致地表示了伽利略探究自由落体运动的实验和思维过程，对于此过程的分析，以下说法正确的是( )图4A ．其中的甲图是实验现象，丁图是经过合理的外推得出的结论B ．其中的丁图是实验现象，甲图是经过合理的外推得出的结论C ．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显D ．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显 答案 AC3．(自由落体运动规律的应用)一物体从H 高处自由下落，经时间t 落地，则当它下落t2时，离地的高度为( )A.H 2B.H 4C.3H 4D.3H 2 答案 C解析 根据h ＝12gt 2，下落高度与时间的平方成正比，所以下落t 2时，下落高度为H4，离地高度为3H4.4．(自由落体运动规律的应用)一物体从高125 m 处自由下落，取g ＝10 m/s 2.求物体： (1)落到地面时的速度大小；(2)最初1 s 内与最后1 s 内的位移之比． 答案 (1)50 m (2)1∶9 解析 (1)设物体下落时间为t ， 由h ＝12gt 2得：t ＝2hg＝5 s 由v t ＝gt 得：v t ＝50 m/s (2)物体下落第1 s 内位移h 1＝12gt 12＝12×10×12 m ＝5 m物体下落前4 s 内位移h 2＝12gt 22＝12×10×42 m ＝80 m则物体下落最后1 s 内的位移h 3＝H －h 2＝45 m 则最初1 s 内与最后1 s 内的位移之比h 1h 3＝19一、选择题1．小明发现从核桃树上同一高度一颗核桃和一片树叶同时从静止落下，下列说法正确的是( ) A ．核桃和树叶的运动都是自由落体运动 B ．核桃先落地是由于核桃受到的重力较大 C ．核桃和树叶的运动都不能看成自由落体运动 D ．假如地球上没有空气，核桃和树叶会同时落地 答案 D解析 从树上落下的核桃所受阻力相对重力来说很小，可看成自由落体运动，而从树上落下的树叶所受阻力相对重力来说较大，不能看成自由落体运动，A 、B 、C 错误．假如地球上没有空气，则核桃和树叶不受空气阻力，都做自由落体运动，下落快慢相同，同时落地，D 正确．2．(多选)伽利略在研究自由落体运动时，设计了如图1所示的斜面实验．下列哪些方法是他在这个实验中采用过的( )图1A ．用水钟计时B ．用打点计时器打出纸带进行数据分析C ．改变斜面倾角，比较各种倾角得到的xt2的比值的大小D ．将斜面实验的结果合理“外推”，说明自由落体运动是特殊的匀变速直线运动 答案 ACD解析 伽利略时代采用的计时方法是水钟计时，A 正确，B 错误；研究自由落体运动时伽利略利用数学推理得出结论，速度随时间均匀变化，则位移与时间的二次方成正比，C正确；伽利略将斜面实验的结果合理“外推”，D正确．3．(多选)下列关于重力加速度的说法正确的是()A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向B．在地球上不同地方，g的大小是不同的，但差别不大C．在地球上同一地点，轻石块与重石块做自由落体运动的加速度是相同的D．纬度越低的地方，重力加速度g值越小答案BCD解析重力加速度是矢量，方向总是竖直向下．地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度是相同的，地球上不同地方g的大小是不同的，但差别不大，纬度越低的地方，g 值越小．故正确答案为B、C、D.4．从发现情况到采取相应行动经过的时间叫反应时间．两位同学合作，用刻度尺可测得人的反应时间．如图2甲所示，A握住尺的上端，B在尺的下部做握尺的准备(但不与尺接触)，当看到A放开手时，B立刻握住尺．若B做握尺准备时，手指位置如图乙所示，而握住尺时的位置如图丙所示，由此测得B同学的反应时间约为()图2A．2.0 s B．0.30 s C．0.10 s D．0.04 s答案B解析由自由落体公式h＝12gt2，有0.6－0.2＝12gt2，可知t≈0.30 s，所以选项B正确．5．空降兵从飞机上跳伞时，为了保证安全着陆，着陆前最后阶段降落伞匀速下落的速度约为6 m/s.空降兵平时模拟训练时，经常从高台上跳下，则训练用高台的合适高度约为(g取10 m/s2)()A．0.5 m B．1.0 m C．1.8 m D．5.0 m答案C6．(多选)甲、乙两物体，m甲＝2m乙，甲从2H高处自由落下，1 s后乙从H(H>1 m)高处自由落下，不计空气阻力，在两物体落地之前，正确的说法是()A．同一时刻甲的速度大B．同一时刻两物体的速度相同C．各自下落1 m时，两物体速度相同D．落地之前甲和乙的高度之差不断增大答案AC解析因为甲、乙物体都做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，甲任意时刻的速度为：v＝gt，乙任意时刻的速度v′＝g(t－1)，所以两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度大于乙的速度，故A正确，B错误；各自下落1 m时，根据速度时间关系公式，有：v2＝2gh，故v＝2gh＝2×10×1 m/s＝2 5 m/s，两物体速度相同，C正确；1 s后，相对于乙物体，甲向下做匀速直线运动，由于不知道题目中H的具体数值，故不知道甲能否超过乙，故不能确定是否一直靠近，故D错误．7．某同学在实验室做了如图3所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为0.5 cm，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为1.00×10－3 s，则小球开始下落的位置距光电门的距离约为(取g＝10 m/s2)()图3A．1 m B．1.25 mC．0.4 m D．1.5 m答案B8．长为5 m的竖直杆下端距离一个竖直隧道口为5 m，若这个隧道高也为5 m，让这根杆自由下落，它通过隧道的时间为(取g＝10 m/s2)()A. 3 s B．(3－1) sC ．(3＋1) sD ．(2＋1) s答案 B解析 根据h ＝12gt 2，直杆自由下落到下端运动到隧道上沿的时间t 1＝2h 1g ＝2×5 m10 m/s 2＝1 s ．直杆自由下落到直杆的上端离开隧道下沿的时间t 2＝2h 2g＝2×15 m10 m/s 2＝ 3 s ．则直杆过隧道的时间t ＝t 2－t 1＝(3－1) s ，选项B 正确，A 、C 、D 错误．9．一个物体从房檐自由落下，通过一个高为1.8 m 的窗户用了0.2 s ，g 取10 m/s 2，则房檐距窗户下沿的高度为( )A ．0.6 mB ．0.2 mC ．5 mD ．3.5 m 答案 C10．(多选)一小球从空中由静止释放，不计空气阻力(g 取10 m/s 2)．下列说法正确的是( ) A ．第2 s 末小球的速度为20 m/s B ．前2 s 内小球的平均速度为20 m/s C ．第2 s 内小球的位移为10 m D ．前2 s 内小球的位移为20 m 答案 AD解析 小球做自由落体运动，第2 s 末小球的速度为v ＝gt ＝10×2 m /s ＝20 m/s ，故A 正确；前2 s 内小球的位移为h 2＝12gt 2＝12×10×4 m ＝20 m ；前2 s 内小球的平均速度为v ＝h 2t ＝202m /s ＝10 m/s ，故B 错误，D 正确；第1 s 内小球的位移为h 1＝12gt 12＝12×10×1 m ＝5 m ；故第2 s 内小球的位移为Δh ＝h 2－h 1＝20 m －5 m ＝15 m ，故C 错误． 二、非选择题11．某校物理兴趣小组为了了解高空坠物的危害，将一只鸡蛋从高楼上由静止释放，经过4 s 鸡蛋刚好着地．(忽略空气阻力的作用，g 取10 m/s 2)求： (1)鸡蛋释放时距离地面的高度； (2)鸡蛋在下落过程中的平均速度大小； (3)鸡蛋下落过程中第4 s 内的位移大小． 答案 (1)80 m (2)20 m/s (3)35 m解析 (1)由h ＝12gt 2，可得：h ＝12×10×16 m ＝80 m.(2)下落过程的平均速度为：v ＝h t ＝804m /s ＝20 m/s.(3)前3 s 内的位移h ′＝12gt 32＝12×10×32 m ＝45 m ， 故第4 s 内的位移Δh ＝h －h ′＝35 m.12.在离地面7.2 m 处，手提2.2 m 长的绳子的上端如图4所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g ＝10 m/s 2)求：图4(1)两小球落地时间相差多少？(2)B 球落地时A 球的速度多大？答案 (1)0.2 s (2)10 m/s解析 (1)设B 球落地所需时间为t 1，因为h 1＝12gt 12， 所以t 1＝2h 1g ＝2×(7.2－2.2)10s ＝1 s ， 设A 球落地所需时间为t 2由h 2＝12gt 22得t 2＝2h 2g ＝2×7.210s ＝1.2 s 所以两小球落地的时间差为Δt ＝t 2－t 1＝0.2 s.(2)当B 球落地时，A 球的速度与B 球的速度相等．即v A ＝v B ＝gt 1＝10×1 m /s ＝10 m/s.13.如图5所示，直杆长L 1＝0.5 m ，圆筒高L 2＝2.5 m ．直杆位于圆筒正上方H ＝1 m 处．直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿越圆筒．试求：(取g ＝10 m/s 2，5≈2.236)图5(1)直杆下端刚好开始进入圆筒时的瞬时速度v 1；(2)直杆穿越圆筒所用的时间t .答案 (1)4.472 m/s (2)0.45 s解析 (1)直杆做自由落体运动，设直杆下端到达圆筒上方的时间为t 1，由运动学知识得H ＝12gt 12，v 1＝gt 1，联立解得v 1＝2 5 m /s ≈4.472 m/s. (2)设直杆上端离开圆筒下方的时间为t 2，则L 1＋H ＋L 2＝12gt 22，由题意得t ＝t 2－t 1，解得t ≈0.45 s.。