第5章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？
答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素 ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。
则称该迭代过程是p阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛，p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解 的牛顿法？它是否总是收敛的？若 ， 是单根， 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法：
当 时收敛。
7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误， 可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则||A||1= ||A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？
答：高斯消去法实质上产生了一个将 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
并求出系数矩阵A的行列式的值
使用列主元消去法，有
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解
本题考查LU分解。
解：
9、用追赶法解三对角方程组 ，其中
， 。
解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有
3、设 为指标为 的初等下三角矩阵（除第 列对角元以下元素外， 和单位阵 相同），即
求证当 时， 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中 为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵 的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
本题不推导。参见书上例题。P147页。
5、设 ，其中 为三角矩阵。
即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
解：
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三角阵的乘积，但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的乘积。
（1） 为对称正定矩阵；
（2）
，所以 为对称正定矩阵。
由于 为对称正定矩阵，所以
则
第7章
复习与思考题
1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？
P213，若 且 ，根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根，这时称 为 的有根区间。
2.什么是二分法？用二分法求 的根， 要满足什么条件？
P213
一般地，对于函数 如果存在实数c,当x=c时，若 ,那么把x=c叫做函数 的零点。解方程即要求 的所有零点。
取 ，
这时它与精确解的距离 。
2. 为求方程 在 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
1） ，迭代公式 ；
2） ，迭代公式 ；
3） ，迭代公式 ；
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。
[解]1）设 ，则 ，从而 ，所以迭代方法局部收敛。
2）设 ，则 ，从而
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、（2）
注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。
答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
答：正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答：正确。
（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答：正确。
假定 在区间（x，y）上连续，
先找到a、b属于区间（x，y），使 ，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求 ,现在假设
1果 ，该点就是零点，如果 ,则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
2如果 ，则在区间 内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
3这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
从而 ，
又当 时，
。
当 时，
。
综上所述， 时最小，这时 ，即 。
18、设 ，计算A的条件数
由 可知， ，从而
，
由 ，
，
由 ，
可得 ，从而
。
， ，从而 。
19、证明：如果 是正交矩阵，则
若A是正交阵，则 ，从而 ， ，故 ， 。
20、设 ，且 为 上矩阵的算子范数，证明：
21、设 ，其中 为非奇异矩阵，证明：
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的乘积，并且分解是唯一的。
12、设
，
计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的定义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。
（1）计算 的递推公式
（2）解Ly=f
（3）解UX=y
10、用改进的平方根法解方程组
。
本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157
。
11、下列矩阵能否分解为 （其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。
， ， 。
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？
楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
P215
求 的零点就等价于求 的不动点，选择一个初始近似值 ，将它代入 的右端，可求得
，如此反复迭代有
，
称为迭代函数，如果对任何 ，由 得到的序列
有极限
，则称迭代方程收敛，且 为 的不动点，故称 为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 的收敛阶
P219
设迭代过程 收敛于 的根 ，如果当 时，迭代误差 满足渐近关系式
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组 的乘除法次数
（3）设 为非奇异矩阵，试推导求 的计算公式
本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。
解法，略。
6、证明：
（1）如果 是对称正定矩阵，则 也是对称正定矩阵
（2）如果 是对称正定矩阵，则 可以唯一地写成 ，其中 是具有正对角元的下三角矩阵
答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）||A||1= ||AT||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是nn的非奇异矩阵，则
。
答：正确。A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
习题
1、设A是对称阵且 ，经过高斯消去法一步后，A约化为 ，证明 是对称矩阵。
齐次性
三角不等式
设 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）
7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A =(ai j)的三种范数||A||1，||A||2，||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？
向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
正定条件
（1）非线性方程（或方程组）的解通常不唯一（正确）
（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）
（3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）
（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）
（5）求多项式 的零点问题一定是病态的问题（错误）
（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）
（8）牛顿法有可能不收敛（正确）