习题51．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。

(1) 左矩形公式：⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()((2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f ba-≈⎰(3) 中矩形公式：⎰-+≈baa b ba f dx x f ))(2()( 解：(1) )()(a f x f ≈，)()()()(a b a f dx a f dx x f baba -=≈⎰⎰(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈bab aa b a f dx b f dx x f ))(()()()()(21)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f baba'--=-'=-'=⎰⎰，),(,b a ∈ηξ(3) 法1 )2()(ba f x f +≈ ， 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。

作一次多项式 )(x H满足 )2()2(b a f b a H +=+，)2()2(ba fb a H +'=+'，则有 2)2)((!21)()(b a x f x H x f +-''=-ξ， ),(b a ∈ξ 于是2．考察下列求积公式具有几次代数精度：（1）⎰'+≈1)1(21)0()(f f dx x f ； （2）)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰-。

解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21=，右=21210=+，左=右； 当2)(x x f =时，左=31，右=1，左≠右，代数精度为1。

（2）当1)(=x f 时，左=2，右=2，左=右； 当x x f =)(时，左=0，右=031)31(=+-，左=右； 当2)(x x f =时，左32=，右323131=+=，左=右； 当3)(x x f =时，左0=，右0)31()31(33=+-=，左=右；当4)(x x f =时，左52=，右92)31()31(22=+=，左≠右。

代数精度为3。

3．确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。

（1）⎰-++-≈11)](3)(2)1([31)(βαf f f dx x f ； （2）)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f bb'-'-++-≈⎰-； （3）)1()0()1()(21110f a f a f a dx x f ++-≈⎰-。

解：)1( 当1)(=x f 时，左2=，右2)321(31=++=，左=右； 当x x f =)(时，左0=，右)321(31βα++-=，当2)(x x f =时，左32=，右)321(3122βα++=；要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当α、β满足56156512,1±=±=α ， 156251)61(521312,1μ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±-=β求积公式（1）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-≈⎰-)156251(3)561(2)1(31)(11f f f dx x f （A ）求积公式（2）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-≈⎰-)156251(3)561(2)1(31)(11f f f dx x f （B ）当3)(x x f =时，（A ）的左端为1。

（A ） 的右端1)156251(3)561(213133≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⨯+-=（B ） 的右端1)156251(3)561(213133≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⨯+-=∴ （A ）和（B ）的代数精度均为2。

（2）[]⎰'-'-++-≈bab f a f a b b f a f ab dx x f )]()([)()()(2)(2α 当1)(=x f 时，左a b -=，右a b ab -=+-=)11(2当x x f =)(时，左)(2122a b -=，右)(21][222a b b a a b -=+-= 当2)(x x f =时，左)(3133a b -=，右)2)(()(222b a a b b a a b --++-=αα 要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当 当3)(x x f =时，左),(41443a b dx x b a-==⎰ 右]33[)(121][222233b a a b b a a b --++-=当4)(x x f =时，左)(51554a b dx x b a-==⎰，5b 的系数51=。

右)44()(121][233244b a a b b a a b --++-=， 其中5b 的系数5161)4(12121≠=-⨯+=。

因而 代数精度为3。

5．设函数)(x f 由下表给出：x 1.6 1.8 2.0 2..2 2.4 2.6 )(x f 4.953 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464 x 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 )(x f 16.445 20.086 24.533 29.964 36.598 44.701解： x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4)(x f 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464 16.445 20.086 24.533 29.964(1) 复化梯形公式2.0=h ， ih x i +=8.1，8,,2,1,0Λ=i（2）4.0=h（3） Romberg 算法7．试用复化梯开公式计算曲线x x f tan )(=在区间[4,0π]上这一段的弧长，取31021-⨯=ε。

解： x x f tan )(=， xx f 2cos 1)(='16π8π163π 4π21=[3228084.1π+(50746.145925.142986.141592.1+++ 所求弧长为 278.132=T 9．利用积分⎰=824ln 1dx x计算4ln 时，若采用复化梯形公式，问应取多少节点才能使其误差绝对值不超过51021-⨯。

解： 2=a ， 8=b ， 21)(=x f ， 21)(x x f -='， 32)(xx f =''2)(12)()(h f ab f T dx x f ban ξ''--=-⎰， )8,2(∈ξ 要使 只要取 949=n答：取950个等距节点，则有 5111021)(--⨯≤-⎰n T dx x f方法2 []22222181121)()(121)()(h h b f a f f T f I n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-'≈- 10．用Romberg 方法求⎰821dx x ，要求误差不超过51021-⨯。

从所取节点个数与上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。

解： 将区间[2，8]作16等分，831628=- x 2， 2+81983=， 822， 825， 828， 831， 834， 837，)(x f 21， 198 228 258， 288， 318， 348， 378x 840， 843， 846， 849， 852， 855， 858， 861， 864)(x f 408, 438, 468, 498, 528, 558, 588, 618, 648 实际上12．用3点Gauss-Legendre 公式求dx e I x⎰-=10。

解：dx e x⎰-10)1(21t x +=三点Gauss 公式21．根据下列x x f tan )(=的数值表：x 1.20 1.24 1.28 1.32 1.36)(x f 2.572 15 2.911 93 3.341 35 3.903 35 4.673 44解： x x f tan )(= x xx f 22tan 1cos 1)(+=='hh x f h x f h x D 2)()(),(000--+=，)(61),()(200ξf h h x D x f '''-=-'，),(00h x h x +-∈ξ实际误差 96844268.0)08.0,28.1()28.1(=-'D f实际误差 22813018.0)04.0,28.1()28.1(=-'D f。