[物理学11章习题解答]11-1如果导线中的电流强度为8.2 a，问在15 s内有多少电子通过导线的横截面？解设在t秒内通过导线横截面的电子数为n，则电流可以表示为,所以.11-2 在玻璃管内充有适量的某种气体，并在其两端封有两个电极，构成一个气体放电管。

当两极之间所施加的电势差足够高时，管中的气体分子就被电离，电子和负离子向正极运动，正离子向负极运动，形成电流。

在一个氢气放电管中，如果在3 s内有2.8⨯1018 个电子和1.0⨯1018 个质子通过放电管的横截面，求管中电流的流向和这段时间内电流的平均值。

解放电管中的电流是由电子和质子共同提供的，所以.电流的流向与质子运动的方向相同。

11-3 两段横截面不同的同种导体串联在一起，如图11-7所示，两端施加的电势差为u。

问：(1)通过两导体的电流是否相同？(2)两导体内的电流密度是否相同？(3)两导体内的电场强度是否相同？(4)如果两导体的长度相同，两导体的电阻之比等于什么？(5)如果两导体横截面积之比为1: 9，求以上四个问题中各量的比例关系，以及两导体有相同电阻时的长度之比。

解(1)通过两导体的电流相同，。

(2)两导体的电流密度不相同，因为,图11-7又因为,所以.这表示截面积较小的导体电流密度较大。

(3)根据电导率的定义,在两种导体内的电场强度之比为.上面已经得到，故有.这表示截面积较小的导体中电场强度较大。

(4)根据公式,可以得到,这表示，两导体的电阻与它们的横截面积成反比。

(5)已知，容易得到其他各量的比例关系,,,.若，则两导体的长度之比为.11-4两个同心金属球壳的半径分别为a和b(>a)，其间充满电导率为σ的材料。

已知σ是随电场而变化的，且可以表示为σ = ke，其中k为常量。

现在两球壳之间维持电压u，求两球壳间的电流。

解在两球壳之间作一半径为r的同心球面，若通过该球面的电流为i，则.又因为,所以.于是两球壳之间的电势差为.从上式解出电流i，得.11-5一个电阻接在电势差为180 v电路的两点之间，发出的热功率为250w。

现将这个电阻接在电势差为300 v的电路上，问其热功率为多大？解根据焦耳定律，热功率可以表示为,该电阻可以求得，为.当将该电阻接在电压为u2= 300 v的电路上时其热功率为.11-7当对某个蓄电池充电时，充电电流为2.0 a，测得蓄电池两极间的电势差为6.6 v；当该蓄电池放电时，放电电流为3.0 a，测得蓄电池两极间的电势差为5.1 v。

求该蓄电池的电动势和内阻。

解设蓄电池的电动势ε、为内阻为r。

充电时，电流为i1 = 2.0 a，两端的电压为u1 = 6.6 v，所以. (1)放电时，电流为i2= 3.0 a，两端的电压为u2= 5.1 v，所以. (2)以上两式联立，解得,.11-8 将阻值为3.6 ω的电阻与电动势为2.0 v的电源相联接，电路中的电流为0.51 a，求电源的内阻。

解在这种情况下，电路的电流可以表示为.由此解得电源的内阻为.11-9 沿边长为a 的等边三角形导线流过电流为I ，求： (1)等边三角形中心的磁感应强度；(2)以此三角形为底的正四面体顶角的磁感应强度。

解(1)由载流导线ab 在三角形中心o (见图11-8)产生的磁感应强度b 1的大小为,式中,.于是.由三条边共同在点o 产生的磁感应强度的大小为 ,方向垂直于纸面向里。

(2)图11-9 (a)表示该四面体，点p 就是四面体的顶点。

载流导线ab 在点p 产生的磁感应强度的大小为,式中b 是点p 到ab 的距离，显然.α1 = pad = 60︒ ，α2= π-pbd =120︒，于是,b *处于平面pcd 之内、并与pd 相垂直，如图11-9 (b)所示。

由图11-9 (b)还可以看到，b *与竖直轴线op 的夹角为α，所以载流导线ab 在点p 产生的磁感应强度沿该竖直轴的分量为图11-8图11-9.由于对称性，载流导线bc 和ca 在点p 产生的磁感应强度沿竖直轴的分量，与上式相同。

同样由于对称性，三段载流导线在点p 产生的磁感应强度垂直于竖直轴的分量彼此抵消。

所以点p 的实际磁感应强度的大小为,方向沿竖直轴po 向下。

11-10 两个半径相同、电流强度相同的圆电流，圆心重合，圆面正交，如图11-10所示。

如果半径为r ，电流为i ，求圆心处的磁感应强度b 。

解 两个正交的圆电流，一个处于xy 平面内，产生的磁感应强度b 1，沿z 轴正方向，另一个处于xz 平面内，产生的磁感应强度b 2，沿y 轴正方向。

这两个磁感应强度的大小相等，均为.圆心o 处的磁感应强度b 等于以上两者的合成，b 的大小为,方向处于yz 平面内并与轴y 的夹角为45︒。

11-11 两长直导线互相平行并相距d ，它们分别通以同方向的电流i 1 和i 2。

a 点到两导线的距离分别为r 1 和r 2，如图11-11所示。

如果d = 10.0 cm , i 1 = 12 a ，i 2= 10 a ，r 1 = 6.0 cm ，r 2= 8.0 cm ，求a 点的磁感应强度。

解 由电流i 1和i 2在点a 产生的磁感应强度的大小分别为和,它们的方向表示在图11-11中。

r 1和r 2之间的夹角α，在图中画作任意角，而实际上这是一个直角，原因是,所以b 1与b 2必定互相垂直。

它们合成的磁感应强度b 的大小为图11-10图11-11.设b 1与b 2的夹角为 ，则,.11-14 一长直圆柱状导体，半径为r ，其中通有电流i ，并且在其横截面上电流密度均匀分布。

求导体内、外磁感应强度的分布。

解 电流的分布具有轴对称性，可以运用安培环路定理求解。

以轴线上一点为圆心、在垂直于轴线的平面内作半径为r 的圆形环路，如图11-12所示，在该环路上运用安培环路定理：在圆柱体内部,由上式解得(当 时).在圆柱体外部,由上式解得(当 时) .11-15 一长直空心圆柱状导体，电流沿圆周方向流动，并且电流密度各处均匀。

若导体的内、外半径分别为r 1和r 2，单位长度上的电流为i ，求空心处、导体内部和导体以外磁感应强度的分布。

解 电流的这种分布方式，满足运用安培环路定理求解所要求的对称性。

必须使所取环路的平面与电流相垂直，图11-13中画的三个环路就是这样选取的。

在管外空间：取环路1，并运用安培环路定理，得,.在管内空间：取环路2，并运用安培环路定理，得,即图11-12图11-13, .b 2的方向可用右手定则确定，在图11-13中用箭头表示了b 2方向。

在导体内部，取环路3，ab 边处于导体内部，并与轴线相距r 。

在环路3上运用安培环路定理，得,整理后，得,于是可以解得,方向向左与轴线平行。

12-16 有一长为l = 2.6⨯10-2m 的直导线，通有i = 15 a 的电流，此直导线被放置在磁感应强度大小为b = 2.0 t 的匀强磁场中，与磁场方向成α = 30︒角。

求导线所受的磁场力。

解 导线和磁场方向的相对状况如图12-15所示。

根据安培定律,导线所受磁场力的大小为,力的方向垂直于纸面向里。

11-17 有一长度为1.20 m 的金属棒，质量为0.100 kg ，用两根细线缚其两端并悬挂于磁感应强度大小为1.00 t 的匀强磁场中，磁场的方向与棒垂直，如图11-16所示。

若金属棒通以电流时正好抵消了细线原先所受的张力，求电流的大小和流向。

解 设金属棒所通电流为i 。

根据题意，载流金属棒在磁场中所受安培力与其重力相平衡，即,所以.电流的流向为自右向左。

图12-15图11-1611-18 在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，矩形线圈的长边与长直导线平行，如图11-17所示。

若直导线中的电流为i 1 = 20 a ，矩形线圈中的电流为i 2= 10 a ，求矩形线圈所受的磁场力。

解 根据题意，矩形线圈的短边bc 和da (见图11-18)所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵消。

所以矩形线圈所受磁场力就是其长边ab 和cd 所受磁场力的合力。

ab 边所受磁场力的大小为,方向向左。

cd 边所受磁场力的大小为,方向向右。

矩形线圈所受磁场力的合力的大小为 ,方向沿水平向左，与图11-18中f 1的方向相同。

11-19 在半径为r 的圆形单匝线圈中通以电流i 1 ，另在一无限长直导线中通以电流i 2，此无限长直导线通过圆线圈的中心并与圆线圈处于同一平面内，如图11-19所示。

求圆线圈所受的磁场力。

解 建立如图所示的坐标系。

根据对称性，整个圆线圈所受磁场力的y 分量为零，只考虑其x 分量就够了。

在圆线圈上取电流元i 1 d l ，它所处位置的方位与x 轴的夹角为 ，如图所示。

电流元离开y 轴的距离为x ，长直电流在此处产生的磁场为.电流元所受的磁场力的大小为.这个力的方向沿径向并指向圆心(坐标原点)。

将、 代入上式，得.其x 分量为,整个圆线圈所受磁场力的大小为,图11-18图11-17图11-19负号表示f x沿x轴的负方向。

11-20有一10匝的矩形线圈，长为0.20 m，宽为0.15 m，放置在磁感应强度大小为1.5⨯10-3 t的匀强磁场中。

若线圈中每匝的电流为10 a，求它所受的最大力矩。

解该矩形线圈的磁矩的大小为,磁矩的方向由电流的流向根据右手定则确定。

当线圈平面与磁场方向平行，也就是线圈平面的法向与磁场方向相垂直时，线圈所受力矩为最大，即.11-21当一直径为0.020 m的10匝圆形线圈通以0.15 a电流时，其磁矩为多大？若将这个线圈放于磁感应强度大小为1.5 t的匀强磁场中，所受到的最大力矩为多大？解线圈磁矩的大小为.所受最大力矩为.11-22由细导线绕制成的边长为a的n匝正方形线圈，可绕通过其相对两边中点的铅直轴旋转，在线圈中通以电流i，并将线圈放于水平取向的磁感应强度为b的匀强磁场中。

求当线圈在其平衡位置附近作微小振动时的周期t。

设线圈的转动惯量为j，并忽略电磁感应的影响。

解设线圈平面法线与磁感应强度b成一微小夹角α，线圈所受力矩为. (1)根据转动定理，有,式中负号表示l的方向与角加速度的方向相反。

将式(1)代入上式，得,或写为. (2)令,(3)将式(3)代入式(2)，得(4)因为ω是常量，所以上式是标准的简谐振动方程，立即可以得到线圈的振动周期，为.11-23假如把电子从图11-20中的o点沿y方向以1.0⨯107m⋅s-1 的速率射出，使它沿图中的半圆周由点o到达点a，求所施加的外磁场的磁感应强度b的大小和方向，以及电子到达点a的时间。

图11-20解要使电子沿图中所示的轨道运动，施加的外磁场的方向必须垂直于纸面向里。

磁场的磁感应强度的大小可如下求得,.电子到达点a的时间为.11-24电子在匀强磁场中作圆周运动，周期为t = 1.0⨯10-8 s。