数学分析课程的教学改革与实践探究
一现状及存在的问题
在数学类专业（我校有师范类数学与应用数学和信计与计算科学）的培养方案中，数学分析、高等代数、空间解析几何这三门课是大一、大二年级的重要专业基础课（通常称为“老三基”），其中以数学分析尤为重要。

不仅因为它历时最长，其教学过程贯穿三个学期，还因为它是学生后续专业课程（如常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率统计等）所必需的基本理论、基本方法和基本技能。

数学分析课程具有内容经典、体系完整、理论推理严密等特点，所体现的分析思想、逻辑推理方法和处理问题的技巧，在学生的整个专业学习和科学研究中起着奠基性的重要作用。

数学分析课程的教学内容经典，几十年来基本不变;内容过于抽象化、理论化，容易使学生感到枯燥、难以理解，难以激发学生的学习兴趣。

不少学生学了一两个学期了还没入门，甚至到了毕业季还在重修数学分析的学生也不少见。

教学方式陈旧，基本上是“满堂灌”，教师台上讲、学生座下听，教师只管按部就班地完成教学任务。

数学分析课程体系的完整性、理论推理的严密性是保住了，但学生的数学思维能力和创新能力是否得到培养却无法保证。

教学手段基本都是采用“黑板+粉笔”的方式，教师忙于板书，抄定义抄定理抄例题需要花费大量时间，学生埋头记笔记，课后还得花大量时间消化。

由于数学分析课程的理论性强、趣味性差、辩证分析多、定理证明多、实际应用较少、对学生的逻辑分析能力要求高。

另外，学生由于刚从中学升上来，还没有形成系统的学习方法，对数学分析课程教学方式和教学进度的要求还不习惯，特别是极限的精确定义“ε-δ语言”的引进，让学生无所适从，即使课堂上听懂了习题也常常不知从何下手，容易产生挫败感，会影响到学习的耐性和毅力，一旦形成定式后果不堪设想。

随着我校新一轮的教学改革，加强了通识课程模块和实践教学模块，而且每学期的学时数从18调整为16，课程量增加了，这样每门课程的课时也就相对
减少了。

特别是数学分析课程，从以往的（师范类数学与应用数学专业）300学时和（信息与计算科学专业）280学时分别调整为256学时和224学时。

鉴于课时数减少的现状，以上问题更加突出，因此数学分析课程教学内容的调整、教学手段的改革成为重中之重。

二教学内容调整
数学分析课程对未来从事数学研究和数学教育及数学应用等方面人才的培养有着重要意义，担负着培养学生的逻辑思维能力和推理能力的重任，所以要保证数学分析基本理论体系的完整性，不能简单地删掉某些部分的内容。

鉴于两个专业的定位是数学教育与数学应用，所以在保证数学分析课程理论体系完整性的前提下，有选择地弱化某些内容的所谓的“严格”，有选择地避开难点，可减轻学生的厌学情绪。

而另外开设的一门选修课分析选讲，供有志于往数学研究方向发展的学生选修，在那里可使这些学生得到良好的理论补充和训练。

具体做法如下：
极限理论的ε-δ表述是数学分析的灵魂，其间有着大量的逻辑证明和分析数学的辩证思想，是形成学生分析数学思想的基础，在四年数学专业学习中的地位举足轻重。

因此教学中，宜采用先慢后快的策略，在学时数的安排上要有所侧重，多进行典型例题及作业的评讲和理论脉络的梳理。

这部分内容丝毫不能削弱，这是必须坚持的。

极限续论部分，可以选择一个定理（如闭区间套定理）作为主线，用它就足以证明所有闭区间上连续函数的性质了。

而其他的实数连续性定理严格的完整的讨论可留在选修课分析选讲里细讲。

为避免难点过度集中，建议把这部分安排在第二学期，置于定积分理论之前，这不会影响理论体系的完整性。

关于曲线的曲率问题，我们把它留给学生自学，实际上略去它对本课程的系统性并无多大影响。

对隐函数存在定理，它的证明相当繁复，学生很难能完整地听完老师的推演过程，可借助几何画板的动画功能动态地演示其证明过程，使学生可以获得隐函数存在的直观感受。

特别是对信息与计算科学专业，由于学时更少，有些内容（如定积分的达布和的性质的讨论、可积函数类的证明、Green公式和Gauss公式的证明，等等）还得适当压缩，以此来节省课时。

三教学方法改革
数学分析课程的概念繁多，讲授概念时要重点阐述概念产生的背景和概念的本质，讲清客观世界、数学抽象、数学语言以及三者之间的关系;既要能够用形式语言表述数学问题，也要能用逻辑语言、数学语言表述概念的定义、内涵与本质属性。

数学分析课程的教学需要大量的分析过程和理论推导，因此，教师授课时就会有大量的板书。

教师应注意板书的设计，配合几何图形进行证明（或解题）过程的分析，再在另外的版面完整地写出理论推导，切不可照本宣科。

提醒学生学习时应始终持“怀疑”态度，敢于怀疑并提出问题，尽可能地解决问题，启发学生深入思考;不仅知道是什么，而且要知道为什么，知其然也知其所以然。

美国数学家哈尔莫斯指出，学习数学的唯一方法是做数学。

所以教师授课时，应围绕教学内容提出问题，让学生参与解决，发挥学生的主观能动性，鼓励学生动手。

不止“做”习题，还要“做”例题，“做”定理，把所学的东西都“做”懂，不留问题或少留问题，增强了学数学的信心，数学的进步就不在话下了。

教师授课时应有意识地培养学生归纳问题、概括问题的能力，掌握数学分析整体的知识结构、掌握发现问题解决问题的技能技巧，形成自己的知识结构，对课程有一个全面认识。

四引进现代化教学手段
鉴于课程学时缩减的现状，传统的纯板书式的教学手段已经不能满足时代的要求，现代化教学手段的引进为教学改革提供了必要的条件。

利用PPT幻灯片演示，授课教师只需在黑板上推演定理的证明过程和例题的解题过程，而省去板书定理和例题的时间，可以节省课时，增加信息量，提高教学效率。

借助数学软件Mathematica或Matlab，绘制一些重要而又较难手绘的函数图像及曲面图形，形象直观地将数学分析中一些抽象的难以理解的概念和分析过程在计算机上以动态方式展示;如可做ε-δ证明的动态显示，让学生更好地理解极限理论的ε-δ表述;再如定积分的定义及其近似计算，求方程的近似解，重积分、曲线积分和曲面积分的计算，利用幂级数展开式计算某些函数值等等，都可以使用数学软件将细化过程动态展示出来。

这种通过计算机辅助教学展现出来的数形结合的基本数学思想，有助于学生理解数学概念，了解数学的本质和规律;不但可以加强对抽象概念的直观理解，还可以提高学生应用数学和计算机解决实际问题的能力。

借助学校的精品课程建设，利用互联网络进行辅助教学的研究，我们已经为数学分析课程在校园网上建立了空中教室。

五增加数学实验环节
通过数学软件Mathematica或Matlab增加数学实验环节，让学生自己动手绘制函数图像及曲面图形，验证计算结果。

这样，不但可以加强学生对数学分析中的抽象概念的直观认识和理解，还可以提高学生应用数学和计算机解决实际问题的能力，激发学生对数学分析课程的兴趣。