2016年北京市朝阳区初三一模数学试卷一、单选题（共10小题）1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学计数法表示应为（）A．B．C．D．2．实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．与B．与C．与D．与3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．4．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE的度数为（）A．40ºB．50ºC．60ºD．130º6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m 7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示,设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为，，下列关系中完全正确的是（）A．=，＜B．=，＞C．＜，＜D．＞，＞8．如图，△内接于⊙，若⊙的半径为6，，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（–2，–4）B．（–1，–4）C．（–2，4）D．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H 是AC边上一点，且°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CGB．线段AGC．线段AHD．线段CH二、填空题（共6小题）11.若二次根式有意义，则x的取值范围是____________．12.分解因式：____________．13.关于x的方程有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=____________．14.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为____________．15.在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒．16.阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．三、计算题（共1小题）17.计算：四、解答题（共12小题）18.已知，求的值．19.解不等式组并写出它的所有整数解．20.如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE = EF．求证：= 2∠1．21.台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF =∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．23.在平面直角坐标xOy中，直线与双曲线的一个交点为A（2，4），与y 轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．24.如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，，求BC的长．25.人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；（2）选择统计表或统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26.观察下列各等式：，，，……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：－3＝3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：－＝；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1<a<3时，点Q 在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．28.在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）29.在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（，0），对于线段AB和x轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若，在点,，中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．答案部分1.考点：科学记数法和近似数、有效数字试题解析：科学记数法是把一个数表示成 a×的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.所以264000=2.64 .故本题选C.答案：C2.考点：实数的相关概念试题解析：所以绝对值相等的两实数是a与d。
故本题选D.答案：D3.考点：概率及计算试题解析：共9张卡牌，其中杀手牌2张，只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率=。
答案：C4.考点：轴对称与轴对称图形试题解析：轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
故本题选B答案：B5.考点：与圆有关的概念及性质试题解析：四边形ABCD内接于⊙O,.故本题选B.答案：B6.考点：相似三角形的应用试题解析：AC和BC的中点D、E，m.故本题选B.答案：B7.考点：极差、方差、标准差试题解析：== =。
===。
所以=，＜。
答案：A8.考点：弧长计算试题解析：如图连接OB,OC.因为所以则的长为=。
答案：B9.考点：平面直角坐标系及点的坐标试题解析：玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），可知终点水立方的坐标为（–2，–4）.故本题选A答案：A10.考点：函数的表示方法及其图像试题解析：若CG的长为y,则y=2-x,故A选项不符合；若AG的长为y，随着x的增大，y是先减小后增大的，故B选项不符合；随着BG的逐渐增大，AH是先减小再增大，故C选项不符合；而线段CH随着BG的逐渐增大是先增大后逐渐减小的。
故本题选D答案：D11.考点：二次根式及其性质试题解析：若二次根式有意义，则即答案：12.考点：因式分解试题解析：。
答案：13.考点：一元二次方程的根的判别式试题解析：因为关于x的方程有两个不相等实数根，所以>0,即>0,求得k< , 写出一个满足条件k<的值即可.如k=1.答案：114.考点：一次方程（组）的应用试题解析：根据题意可得：答案：15.考点：概率及计算试题解析：这是利用概率解题的，因已经充分摇匀，第二次取出的豆子中作记号的比例应等同于所有豆子中作记号的比例，所以，可估计瓶子中豆子的数量约为1250粒。
答案：125016.考点：尺规作图试题解析：略答案：等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线．17.考点：代数式及其求值试题解析：原式= =．答案：18.考点：代数式及其求值试题解析：原式===．．∴原式=4．答案：419.考点：一次不等式（组）的解法及其解集的表示试题解析：解不等式①，得x>-1．解不等式②，得x≤1．∴不等式组的解集是<≤1．∴原不等式组的所有整数解为0，1．答案：0，120.考点：平行线的判定及性质试题解析：∵EF∥AB∴∠1=∠FAB．∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA∵∠1=∠EFA，∴∠EAF=∠1．∴∠BAC=2∠1．答案：见解析21.考点：一次方程（组）的应用试题解析：设北京故宫博物院约有x万件藏品，台北故宫博物院约有y万件藏品．依题意，列方程组得解得北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品．答案：见解析22.考点：矩形的性质和判定试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴,=90º．∵，∴△≌△．∴．∴．∵,∴．又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．（2）由（1）知，EF=AD= 5．在△EFD中，DF=3，DE=4，EF=5，∴．∴∠EDF=90º．∴．∴．答案：见解析23.考点：反比例函数与一次函数综合试题解析：（1）∵双曲线经过点，A（2，4），∴．∵直线经过点A（2，4），∴．∴此直线与y轴交点B的坐标为（0，2）.（2）(8，1)，(-8，-1)．答案：见解析24.考点：圆的综合题试题解析：（1）证明：如图，连接OD．∵DP是⊙O的切线，∴OD⊥DP．∴．∴又∵DC⊥OB，∴．∴．∵OD=OB，∴∴．∴DB平分∠PDC．（2）解：过点B作BE⊥DP于点E．∵BC⊥DC，∴BC=BE. ∵DC=6，，∴DP=10，PC=8．设CB=x , 则BE=x，BP=8- x．∵△PEB∽△PCD，∴．∴．∴答案：见解析25.考点：数据的收集与整理试题解析：（1）296.7．（2）统计表如下：（3）14；能满足老年人的入住需求. 理由：根据2013–2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求．答案：见解析26.考点：数与形结合的规律试题解析：（1）差，积；（2），；（3）1，，1，；（4）存在. 设这两个实数分别为x，y．可以得到∴．∴．∵要满足这两个实数x，y都是整数，∴x+1的值只能是．∴当时，；当时，．∴满足两个实数都是整数的等式为，．答案：见解析27.考点：二次函数与一次函数综合试题解析：（1）把（0，–3）代入，∴把（2，–3）代入∴．（2）由（1）得．∴顶点坐标为（1，–4）．由解得．∴抛物线与x轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．（3）．答案：见解析28.考点：全等三角形的判定相似三角形的应用试题解析：（1）如图，补全图1．∠DBA=．（2）过点P作PE∥AC交AB于点E．∴．∵AC=BC，∴．∴．∴．又∵，∴．∵，∴△≌△．∵，∴=．∴.（3）求解思路如下：a．作AH⊥BC于H；b．由∠C =30º，AC=2，可得AH=1，CH=，BH=，勾股定理可求AB；c．由∠APC=135 º，可得∠APH=45 º，AP=；d．由∠APD=∠C=30º，AC=BC，AP=DP，可得△PAD∽△CAB，由相似比可求AD的长．答案：见解析29.考点：定义新概念及程序试题解析：（1）C，D．（2）①如图，∵∠APB=60°，∠ABP=90°，∴∠PAB=30°，又∵∠OMN=30°，∴∵∴∴∴P（，1）．②∵BQ⊥AP，且∠APB=60º，∴∠PBQ=30º.∴∠ABQ=60º.∴∠BMQ =∠MQB=30º，∴BQ = BM =AB.∴△ABQ是等边三角形. ∴∠AQB=60º.同理，当点N在x轴下方时,可得P（，1），∠AQB=90º.③.答案：见解析。