抽象函数定义域 的类型及求法
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难
度，特别是求其定义域时， 许多同学解答起来总感棘手． 下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．
一、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域
其解法是：若
f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g( x) 中， a ≤
g ( x) ≤ b ，从中
解得 x 的取值范围即为
f g( x) 的定义域．
例 1
已知函数 f (x) 的定义域为
15， ，求 f (3 x 5) 的定义域．
分析：该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数，其中
x 是自变量， u 是中
间变量，由于 f ( x) 与 f (u) 是 同一个函数，因此这里是 已知 1≤ u ≤ 5 ，即
1≤ 3x
5≤ 5，求 x 的取值范围．
解： f ( x) 的定义域为
15， ， 1≤ 3x 5 ≤ 5 ，
4
≤ x ≤
10
．
3 3
故函数 f (3 x 5) 的定义域为
4 10
3
， ．
3
二、已知 f g( x) 的定义域，求 f (x) 的定义域
其解法是：若
f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g (x) 的范
围即为 f ( x) 的定义域．
例 2 已知函数
f (x 2
2x 2) 的定义域为 0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域．
分析： 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2
2x 2) f (u) ，
由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域．
解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 2x 2 ≤ 5 ．
令 u x 2
2x 2 ，则 f ( x 2
2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤ 5 ．
故 f ( x) 的定义域为 15， ．
三、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各
个函数的定义域，然后再求交集．
例３ 若 f (x) 的定义域为
3，5 ，求 ( x) f (
x) f (2 x 5) 的定义域．
3 ≤ x ≤ ，
解：由 f ( x) 的定义域为
3，5 ，则
解得 4 ≤ x ≤ 0 ．
(x) 必有
≤
3 2x 5 ≤ ，
5 所以函数 (x) 的定义域为
4，0 ．。