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第三次数学危机
16级水保一班林南屏
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什么是罗素悖论 罗素悖论的例子
罗素悖论的影响
悖论的解决
什么是罗素悖论
发现背景：
20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基 本建成。 例如，德国物理学家基尔霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾经说过：“物理 学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个 数字罢了。” 英国物理学家开尔文(L．Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补 工作了。” 法国大数学家亨利•彭迦莱(Jules Henri Poincaré)在1900年的国际数学 家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。 然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大 事就是罗素(Russell)悖论的发现。
NBG公理系统
冯· 诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统 中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称 为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以 至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
悖论的解决
• ZF公理系统：
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一 个公理化集合论体系。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel） 的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在 一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集 合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集； 并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛 盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
什么是罗素悖论
• 罗素悖论
设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即 “S={x|x ∉ S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？ 首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S； 其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S。
罗素悖论的例子
• 理发师悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理 发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸， 我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎 不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从 镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给 他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”， 他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的 人”，他就不该给自己刮脸。 理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这 个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元 素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合 都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖 论。反过来的变换也是成立的。 “理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩， 将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的 了。
罗素悖论的例子
• 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出 自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基 本一致。
罗素悖论的影响
• 十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，在集 合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就 为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现， 从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成 为现代数学的基石 • 1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。这就 是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论 产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的 东西。 • 罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题 第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学 基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。 如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派， 而各派的工作又都促进了数学的大发展。