数学（文）（北京卷） 第 1 页（共 12 页）绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|52}A x x =-<<，{|33}B x x =-<<，则A B =I（A ）{|32}x x -<< （B ）{|52}x x -<< （C ）{|33}x x -<<（D ）{|53}x x -<<（2）圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-= （B ）22(1)(1)1x y +++= （C ）22(1)(1)2x y +++= （D ）22(1)(1)2x y -+-= （3）下列函数中为偶函数的是（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）|ln |y x =（D ）2x y -=（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为 （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 12 页）（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（6）设,a b 是非零向量．“||||⋅=a b a b ”是“∥a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A ）1 （B （C （D ）2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （A ）6升 （B ）8升 （C ）10升（D ）12升1俯视图数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）复数i(1i)+的实部为_______． （10）32-，123，2log 5三个数中最大的数是_______．（11）在ABC △中，3a =，b =，2π3A ∠=，则B ∠=_______． （12）已知(2,0)是双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点，则b =_______．（13）如图，ABC △及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为_______．（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，① 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_______； ② 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_______．总成绩年级名次 总成绩年级名次 267267 语文成绩年级名次 数学成绩年级名次数学（文）（北京卷） 第 4 页（共 12 页）三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）已知函数2()sin 2x f x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]32π上的最小值．（16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“⨯”表示未购买．（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？数学（文）（北京卷） 第 5 页（共 12 页）VMACO （18）（本小题14分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ABC ⊥平面，VAB △为等边三角形，AC BC ⊥且AC BC =,O M 分别为,AB VA 的中点．（Ⅰ）求证：//VB 平面MOC ； （Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （Ⅲ）求三棱锥V ABC -的体积．（19）（本小题13分）设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >.（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．（20）（本小题14分）已知椭圆22:33C x y +=．过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）数学（文）（北京卷） 第 6 页（共 12 页）绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B（6）A（7）C（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1- （10）2log 5 （11）π4（12（13）7（14）乙 数学三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin f x x x =π2sin()3x =+所以()f x 的最小正周期为2π． （Ⅱ）因为2π03x ≤≤，所以πππ33x +≤≤． 当ππ3x +=，即2π3x =时，()f x 取得最小值． 所以()f x 在区间2π[0,]3上的最小值为2π()3f =数学（文）（北京卷） 第 7 页（共 12 页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =． 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L ． （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =． 所以61642128b -=⨯=． 由12822n =+得63n =．所以6b 与数列{}n a 的第63项相等．数学（文）（北京卷） 第 8 页（共 12 页）（17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=． （Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品． 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 1002000.31000+=．（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=． 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为,O M分别为,AB VA的中点，所以//OM VB．又因为VB⊄平面MOC，所以//VB平面MOC．（Ⅱ）因为AC BC=，O为AB的中点，所以OC AB⊥．又因为平面VAB ABC⊥平面，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．所以平面MOC⊥平面VAB．（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，AC BC==所以2AB=，1OC=．所以等边三角形VAB的面积VABS=△又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C VAB-的体积等于13VABOC S⋅△又因为三棱锥V ABC-的体积与三棱锥C VAB-的体积相等，所以三棱锥V ABC-．VMACO数学（文）（北京卷）第9 页（共12 页）数学（文）（北京卷） 第 10 页（共 12 页）（19）（共13分）解：（Ⅰ）由2()ln 2(0)x f x k x k >=-得2()k x kf x x x x-'=-=． 由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是(0,，单调递增区间是)+∞； ()f x在x (1ln )2k k f -=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2kk f -=． 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而ek ≥． 当e k =时，()f x 在区间(1,上单调递减，且0f =， 所以x =()f x 在区间上的唯一零点． 当e k >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，e 02kf -=<，所以()f x 在区间(1,上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点．数学（文）（北京卷） 第 11 页（共 12 页）（20）（共14分）解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=．所以a =1b =，c =所以椭圆C的离心率c e a == （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -． 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--． 令3x =，得1(3,2)M y -．所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-． （Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行．证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =． 又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE ． 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--． 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--． 由2233,(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得2222(13)6330k x k x k +-+-=． 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+． 直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-． 因为11212121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BM k x x k x x x x k x x -+--------=-- 121221(1)[2()3](3)(2)k x x x x x x --++-=-- 2222213312(1)(3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=-- 0=， 所以1BM DE k k ==． 所以//BM DE ． 综上可知，直线BM 与直线DE 平行．数学（文）（北京卷）第12 页（共12 页）。