S
ε
a
ρs
r
上式左右两边分别为
由此得
4r 2 Dr 4a 2 s
Dr

a2 s r2
因为 D E ，所以

a2s ˆ r ; a r a d，在介质内时； r 2 E a2s r ˆ ; r a d，在球壳外时。 2 0r
s
等式右边为：q= dv d sin d r 2 dr
0 0 0 v
2

R
4R 3 3
R Ea 3 0
同理可得：完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场为： r Eb 3 0 所以，空腔中某点的电场为
c E E a Eb (R r ) 3 0 3 0
' s (r c) 0 ( Er (r c ) E r (r c )) V 1 1 02 [ ] 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c [ ( ) ( )] [( ) ( )] 1 a c c b a c 2 c b
四、导体的电容，电容的计算
C Qa U ab
五、静电场边界条件（从媒质 2 进入媒质 1 中）
D1n D2 n rs E1t E2t
六、恒定电场基本方程
A、电流连续性方程：
J ds dt r dV
s v v
d
J
rv t
B、微分欧姆定律 J sE C、微分焦耳定律 p J E D、恒定电场基本方程
q ;a r c 4 1 r 2 Er q ;c r b 2 4 2 r
两导体球壳之间的电压为：
b c
V E r dr
a
q q dr dr 2 4 1r 4 2 r 2 a c
b

q 1 1 q 1 1 ( ) ( ) 41 a c 4 2 c b
则电容器的耐压为：
V 1 E r b r E b r a ln 。 a b 所以：V aEb ln a
2-28 已知真空中一内外半径分别为 a、b 的介质球壳，介电常数为 ，在球心放 一电量为 q 的点电荷。 （1）用介质中的高斯定理求电场强度； （2）求介质中的 极化强度和束缚电荷。 解： （1）由题意，电场具有球对称结构。采用高斯定理 D dS q ，在半径为 r 的
2-27 圆柱形电容器，内外导体半径分别为 a、b，两导体之间介质的介电常数为
，介质的击穿场强为 E b ，求此电容器的耐压。
解：设圆柱形电容器长度为 L，内导体接外接 电源正极，则内导体电量为 q ，利用高斯定 理，可得介质内的电场强度为： q Er 2rL 又内外导体间的电压可表示为：
第二层单位长度的电导为：
单位长度的总电导为：
I I 2 2 2 0.126 S / m 1 b 1 c 1 1 3 V V1 V2 ln ln ln 2 ln 2 ln 2 1 a 2 b 50 100 100
G
利用静电比拟 第一层单位长度的电容为 C1 q 21 2 2 0 b V1 ln 2 ln a q 2 2 2 4 0 c V2 ln 2 ln b
两导体球壳之间的电场为：
q ;a r c 4 1r 2 Er q ;c r b 2 4 r 2
a c b
V
两导体球壳之间的电压为
b c
V E r dr
a a
q q q 1 1 q 1 1 dr dr ( ) ( ) 2 2 4 a c 4 c b 4 1r 4 r 1 2 2 c
2-48 两同心导体球壳半径分别为 a、 b， 两导体之间有两层介质， 介电常数为 1 、
2 ，介质界面半径为 c，求两导体球壳之间的电容。
解：设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取半径为 r 的 q 球面，采用高斯定理可得， Dr 4r 2 两导体球壳之间的电场为：
电磁场与微波技术总复习
第二章 静电场和恒定电场 一、电场强度与电位函数 1、库仑定律
F12 aR q1q2 qq 1 23R 2 4 0 R 4 0 R
2、电场强度与电位函数
E f
E dl
P

二、静电场基本方程 1、电通
D dS
S
2、高斯定理（利用高斯定理求电场和电通密度）
第二层单位长度的电容为
C2
单位长度的总电容为：
C q q 2 2 . 1 b 1 c 1 1 V V1 V2 ln ln ln 2 ln 2 1 a 2 b 2 0 4 0
3-13
圆球形电容器内导体半径为a，外导体内半径为c，内外导体之间填充两层
介电常数分别为 1 , 2 ，电导分别为 1 , 2 的非理想介质，两层非理想介质分界 面半径为b，如果内外导体间电压为V，求电容器中的电场及界面上的电荷密度。 解：由于圆球形电容器内填充两层非理想介质，有电流流过，设电流为I。在圆 ˆ ，则由 球形电容器内取一半径为 r 的球面，流过此球面的电流密度为 J J I J dS 得
Er
Jr I 1 2 1 r
arb
r a
Er
I 2 2 r
b
brc
b
第一层的电压为
V1 E r dr
a c
I b ln 2 1 a I c ln 2 2 b
第二层的电压为
V2 E r dr
b
第一层单位长度的电导为 ：
G1
2 1 2 50S / m 100S / m I 453S / m。 b 20cm V1 ln 2 ln ln a 10cm G2 2 2 2 100 S / m I 906 S / m c 40cm V2 ln ln b 20cm


S
D dS q
D
3、静电场基本方程：
D dS q
S
E
rV e0

E dl 0
l
E 0
三、电介质的极化（求束缚电荷体密度和面密度）
P ce e0 E
rsb P an rvb P
D e0 E P e0 E cee0 E er e0 E eE
b
q 1 1 1 1 1 1 V /[ ( ) ( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ )] 4 1 a c 2 c b
1 [( a Er [ 2 1 V ;a r c 1 1 2 1 1 ) ( )]r c 2 c b V ;c r b 1 1 1 1 2 ( ) ( )]r a c c b
S
球面上
Dr q ； 4r 2
由 D E 得
ˆ q r ; r a, r b 4 0 r 2 E ， q r ˆ ;a r b 4r 2
（2） 注意： e r 1; r 0 ;
ˆ P 0 e E 0 ( r 1) E ( 0 ) E ( 0 ) r
题 2-9 图 解 :由电场的叠加性 ,空腔中某点的电场等于完全均匀填充电荷的大球在该点的 电场与完全均匀填充负电荷的小球在该点的电场之和。 利用高斯定理，可求得完全均匀填充电荷的大球在该点的电场为： q 由高斯定理得： E dS 0 s
等式左边为： E dS 4R 2 E r
0 q q ˆ； r 4r 2 4r 2
0 q 1 ˆ) 0(这里利用球坐标的散度公式，见19页，公式1.4 6) ' P ( 2 r 4 r
ˆ 's P n
这里
0 q ˆ) ˆ P (r ' s1 (r a ) P n ； 4a 2 0 q ˆ Pr ˆ ' s 2 (r b) P n 。 4b 2
2-26 两同心导体球壳半径分别为 a、 b， 两导体之间有两层介质， 介电常数为 1 、
2 ，介质界面半径为 c，内外导体球壳电位分别为 V ,0 。求两导体球壳之间的电
场和球壳面上的电荷面密度以及介质分界面上的束缚电荷面密度。 解：如图所示，设内导体带电荷为 q，由于电荷与介质分布具有球对称性，取 q 半径为 r 的球面，采用高斯定理可得， Dr 4r 2
解：忽略边缘效应， 导电板上的电荷均匀分布
在导电板之间，电场电力线为平行的直线，方向为从正指到负，两介质中的电场分 别是均匀的
3.7 同轴电缆内导体半径为 a =10cm，外导体半径为 c =40cm，内外导体之间有两 层媒质。内层从 a =10cm 到 b =20cm，媒质的参数为 1 50S / m, r1 2 ；外层 从 b =20cm 到 c =40cm，媒质的参数为 2 100 S / m, r 2 4 ；求 （1） 每区域单位长度的电容； （2） 每区域单位长度的电导； （3） 单位长度的总电容； （4） 单位长度的总电导。 解： 内外导体之间的两层媒质是非理想的，那么设同轴电缆内、外导体之间单 位长度的漏电流为 I ，且在半径为 r 的圆柱面上电流均匀，电流密度为 I Jr 2r c 电场强度为
c 为从球心指向空腔中心的矢量。
2-24. 半径为 a 的均匀带电球壳，电荷面密度 s 为常数，外包一层厚度为 d、介 电常数为 的介质，求介质内外的电场强度。 解:由于电荷与介质分布具有球对称性，电荷分布是面电荷 分布。取半径为 r 的球面，采用高斯定理得 D dS q