射频与微波技术原理及应用培训教材华东师范大学微波研究所一、Maxwell(麦克斯韦)方程Maxwell 方程是经典电磁理论的基本方程，是解决所有电磁问题的基础，它用数学形式概括了宏观电磁场的基本性质。

其微分形式为 0BE tD H J tD B ρ∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂∇=∇= (1.1) 对于各向同性介质，有D EB H J Eεμσ=== (1.2)其中D 为电位移矢量、B 为磁感应强度、J 为电流密度矢量。

电磁场的问题就是通过边界条件求解Maxwell 方程，得到空间任何位置的电场、磁场分布。

对于规则边界条件，Maxwell 方程有严格的解析解。

但对于任意形状的边界条件，Maxwell 方程只有近似解，此时应采用数值分析方法求解，如矩量法、有限元法、时域有限差分法等等。

目前对应这些数值方法，有很多商业的电磁场仿真软件，如Ansoft 公司的Ensemble 和HFSS 、Agilent 公司的Momentum 和ADS 、CST 公司的Microwave Studio 以及Remcom 公司的XFDTD 等。

由矢量亥姆霍兹方程联立Maxwell 方程就得到矢量波动方程。

当0,0J ρ==时，有222200E k E H k H ∇+=∇+= (1.3)其中k 为传播波数，22k ωμε=。

二、传输线理论传输线理论又称一维分布参数电路理论，是射频、微波电路设计和计算的理论基础。

传输线理论在电路理论与场的理论之间起着桥梁作用，在微波网络分析中也相当重要。

1、微波等效电路法低频时是利用路的概念和方法，各点有确切的电压、电流概念，以及明确的电阻、电感、电容等，这是集总参数电路。

在集总参数电路中，基本电路参数为L、C、R。

由于频率低，波长长，电路尺寸与波长相比很小，电磁场随时间变化而不随长度变化，而且电感、电阻、线间电容和电导的作用都可忽略，因此整个电路的电能仅集中于电容中，磁能集中于电感线圈中，损耗集中于电阻中。

射频和微波频段是利用场的概念和方法，主要考虑场的空间分布，测量参数由电压U 、电流I转化为频率f、功率P 、驻波系数等，这是分布参数电路。

在分布参数电路中，电磁场不仅随时间变化也随空间变化，相位有明显的滞后效应，线上每点电位都不同，处处有储能和损耗。

由于匀直无限长的传输系统在现实中是不存在的，因此工程上常用微波等效电路法。

微波等效电路法的特点是：一定条件下“化场为路”。

具体内容包括：(1)、将均匀导波系统等效为具有分布参数的均匀传输线；(2)、将不均匀性等效为集总参数微波网络；(3)、确定均匀导波系统与不均匀区的参考面。

2、传输线方程及其解传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线上的电压、电流的变化规律及其相互关系的微分方程。

电路理论和传输线之间的关键不同处在于电尺寸。

集总参数电路和分布参数电路的分界线可认为是l/λ≥0.05。

以传输TEM模的均匀传输线作为模型，如图1所示。

在线上任取线元dz来分析(dz<<λ)，其等效电路如图2所示。

终端负载处为坐标起点，向波源方向为正方向。

图1. 均匀传输线模型图2、线元及其等效电路根据等效电路，有11()()()()dU z Z I z dz dI z Y U z dz =={ (2.1)其中Z 1=R 1+j ωL 1, Y 1=G 1+j ωC 1其通解为z 1z 2U B I B z z e e e e γγγγ--++12(z)=A (z)=A { (2.2)结论：1.电压、电流具有波的形式;2.电压、电流由从信号源向负载传播的入射波和从负载向信号源传播的反射波叠加而成，即(),()U z U U I z I I +-+-=+=+。

3、传输线的特性参数主要包括特性阻抗Z c 、传播常数γ、相速度V p 、波导波长λg 。

（1）特性阻抗Z c （Characteristic impedance ）定义：特性阻抗Z c 是传输线上任意处的入射波电压与入射波电流之比，即C U Z I++= （2.3）C Z == （2.4） 若传输线无损耗，R 1=G 1=0, 则C Z =（2.5） 举例，① 平行双线2120ln ==C D Z d（2.6） 典型数值：250Ω、400Ω、600Ω② 同轴线C b Z a== (2.7) 典型数值：50Ω、75Ω、100Ω（2）传播常数γ(Propagation constant)j g a b =+ （2.8）其中α为衰减常数，β为相位常数。

（3）相速度V p定义：等相位面向前移动的速度。

它可以大于光速（如金属波导中），可以小于光速(如介质波导中)，也可以等于光速(如同轴线中)。

它与信号传播速度是两个概念，但在同轴线中相速度V p 和信号传播速度大小相等。

（4）波导波长λg (Waveguide wavelength)传输线中相邻同相位面之间的距离，称为波导波长，即g p V T l = (2.9) 在同轴线中，波导波长λg 等于自由空间的工作波长。

4、传输线的工作参数主要包括输入阻抗、反射系数（回波损耗、插入损耗等）、驻波系数(VSWR)、驻波相位等；（1）输入阻抗Z in （Input impedance ）定义：从某处向终端负载看进去的阻抗，又称分布参数阻抗。

特点：不能直接测量 ()()()()1()()()1()L c in c c L in c c Z Z th z U z Z z Z I z Z Z th zU z U U U U z Z z Z Z I z I I U U z δδ+-+-+-+-+==++++Γ====+--Γ或 (2.10) 对于无耗线R 1=G 1=0，有 ()L c in c c L Z jZ tg z Z z Z Z jZ tg zββ+=+ （2.11） 结论①.输入阻抗Z in 随z 而变，且与负载有关，阻抗不能直接测量。

②.传输线段具有阻抗变换作用。

③.无耗线的阻抗呈周期性变化，具有λ/4变换性和λ/2重复性。

若z=nλ/2，则Z in =Z L ；若z=λ/4+ n λ/2，则2/in c L Z Z Z =。

阻抗的λ/4变换性可用于两段不同特性阻抗传输线之间的阻抗匹配中，即λ/4阻抗变换器。

单节λ/4阻抗变换器是窄带匹配器，两节或多节λ/4阻抗变换器是宽带匹配器。

(2) 反射系数Г (Reflection coefficient)定义：传输线上某点处的反射波电压(或电流)与该点的入射波电压（或电流）之比。

2()()()()L zL j L C L L L Cin Cin CU I z e U IZ Z e Z Z Z z Z z Z z Z γϕ---++Γ==-=Γ-Γ==Γ+-Γ=+ （2.12） ()1z Γ≤ （2.13） 某一点的输入阻抗和反射系数是一一对应的。

在传输线理论中，讨论任意一个参量都是对某一个参考面而言的。

在无耗均匀传输线中，反射系数的模处处相等，也就是说，反射系数的模在均匀传输线上是不变的。

回波损耗(return loss)：回波损耗又称反射损耗，用L r 表示，即 10lg ()20lg ()r P L dB P dB +-= =-Γ （2.14）引入回波损耗概念以后，反射系数的大小就可用dB 形式来表示。

应当注意的是，由式(1.14)可见，回波损耗Lr （dB ）为正值。

但在实际测量中，得到的结果常常用负值表示，这点要注意，例如回波损耗为－20dB 。

匹配负载（Г＝0）的回波损耗为∞dB ，表示无反射波功率，负载吸收100％的入射功率；全反射负载（1G =）的回波损耗为0dB ，表示全部入射功率被反射掉，负载吸收的入射功率为零。

（3）传输系数T定义：通过传输线上某处的传输电压或电流与该处的入射电压或电流之比，即 tV T V+= （2.15） 传输系数T 与反射系数Г的关系： T=1+Г插入损耗(insertion loss)L I 常通过射频电路中两点之间的传输系数来表征，即20lg I L T =- （dB ） (2.16)（4）驻波系数ρ又称电压驻波比VSWR （voltage standing wave ratio ）。

定义：传输线上电压最大值与电压最小值之比，即 maxmin 1()11()U U Uz VSWR U z U U +-+-++Γ===≥-Γ- （2.17） 当0G =时，VSWR ＝1；当1G =时，VSWR=∞,驻波系数与反射系数一样，可用来描述传输线的工作状态。

当传输线的特性阻抗Z c 一定时，传输线终端的负载阻抗与驻波系数一一对应，即 min min1tg tg L c jVSWR l Z Z VSWR j l b b -=- （2.18） 其中l min 为距离负载出现第一个电压最小值的位置。

5、无耗传输线的三类工作状态传输线终端接不同负载阻抗时，有三种不同的工作状态，即行波状态、驻波状态和行驻波状态。

这些不同工作状态的特性对射频、微波电路的分析和设计极为有用。

（1）行波状态当终端负载等于传输线的特性阻抗时，即Z L =Z C , 传输线为行波状态，如图3所示。

图3.无耗传输线的行波特性此时ГL =0，VSWR=1。

特点：① 电压、电流的振幅沿线不变；② 沿线各点的Zin(z)均等于传输线的特性阻抗Z C ；③ 只有入射波,没有反射波,入射功率全被负载吸收；④ 沿线电压和电流的相位随z 增加连续滞后,电压和电流的相位相等。

行波状态是射频、微波系统的理想工作状态，实际上很难实现。

（2）驻波状态当终端短路、开路或纯电抗负载时，传输线上为驻波状态。

① 终端短路0L Z =，此时10,1,1L L L LZ ρ+Γ=Γ=-==∞-Γ，如图4所示。

终端为电压最小值，电流最大值，且最小值为零，驻波分布的周期为λ/2。

其输入阻抗：()tan in c Z z jZ z β= （2.19）图4 终端短路时的驻波状态② 终端开路L Z =∞，此时1,L ρΓ= =∞，如图5所示。

终端为电压最大值，电流最小值，且最小值为零，驻波分布的周期为λ/2。

其输入阻抗：()in c Z z jZ ctg z β=- （2.20）图5 终端开路时的驻波状态注: 理想的终端开路是在终端短路上接一λ/4传输线转换来实现。

（3）行驻波状态终端负载是一般负载时（R L ≠0），传输线上既有行波又有驻波的状态。

分四种情况，即L L c Z R Z =>、L L c Z R Z =<、L L L Z R jX =+和L L L Z R jX =-。

22222222()()Lj L C L c L L c L L L C L c L L c L L Z Z R Z X j X Z e Z Z R Z X R Z X ϕ±--+Γ==±=Γ+++++Γ<1（2.21）当终端接一般负载时，传输线上电压、电流的最大点的振幅等于入射波振幅的(1L +G )倍，最小点的振幅不为零，而是(1L -G )倍。