第二节排列与组合【最新考纲】1•理解排列、组合的概念2理解排列数公式、组合数公式.3•能利用公式解决一些简单的实际问题.©I基础梳理1.2•排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m < n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m < n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3. 排列数、组合数的公式及性质叶！ m ! (”一m) J(7?^7? 6 N J ，且皿冬打)* 公式 性质 (1)0! — 1 ； A” = Tt!.(2)C ；=C ：-w,；C ：+1=C ：+Cr 1⑴ A ： = n (H- 1 ) (/? - 2) - (??- Z7? + I)— 川(n — m)!f =垃—7』(〃一 1)(川一 一加+ 1) \ Z Jm I 特别地C ：=l1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的 打 “X” )(1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(2) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. () (3) 若组合式C x = C ],则x = m 成立.( )(4) 排列定义规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出 的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这 个元素就不再取了.( )答案：⑴ x (2)V (3)X (4)V2. 有A , B , C , D , E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第 一到第五的名次.A , B 两位学生去问成绩，老师对 A 说：你的名次 不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为（）A．6B．18C．20 D．24解析：由题意知，名次排列的种数为C!A3= 18.答案：B3. （2015广东卷改编）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言（）A. 1 560条B. 780条c. 1 600条D. 800条解析：由题意，得毕业留言共A4o = 1 560（条）.答案：A4. 我们把各位数字之和为6 的四位数称为“六合数” （如2013是“六合数” ），则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有（）A. 18个B. 15个c. 12个D. 9个解析：根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组（0，0，4），（0，1，3），（0，2，2），（1，1，2）的所有排列，即共有3+A3+3+ 3 = 15（个）.答案：B5. （2016唐山调研）某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）1.排列数公式: mA n =n!(n —m) !2.组合数公式:n!(n —m)!A. 85B. 56C. 49D. 28解析：法一（直接法）甲、乙两人均入选，有c；c2种方法.甲、乙两人只有1人入选，有c2c2种方法，二由分类加法计数原理，共有c；c7+49种选法. 法二（间接法）从9人中选3人有c3种方法.其中甲、乙均不入选有c7种方法，•••满足条件的选排方法是c3-c3= 84- 35= 49（种）.答案：c -------- _［名师微博•通法领悟｝------------------------- 一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合.两个公式三点提醒1. 特殊元素、特殊位置优先原则.2. 解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）和间接法（排除法）来解决，分类标准应统一.3. 解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配.四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列,备翻邈•高效提能I无序组合；分类相加，分步相乘.一、选择题1. 把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A. 144B. 120C. 72D. 24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A3 = 24（种）放法.答案：D2. （2014安徽卷）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A. 24对B. 30对C. 48 对D. 60 对解析：正方体六个面的对角线共有12条，则有C12 = 66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60°,则共有3X C4 = 18对, 而其余的都符合题意.因此满足条件的对角线共有66- 18= 48（对）.答案：C3. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A．360 B．520C．600 D．720解析：当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C35A4= 480,当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A2A2= 120, 则不同的发言顺序的种数为480+ 120= 600.答案：C4. (2016青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A. 18种B. 24种C. 36 种D. 72 种解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C3C2A3种.1 个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C3C2A3种.•••由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C3C2A；+ C2C2A3=36(种).答案：c5. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )A. 16种B. 36种c. 42 种D. 60 种解析：法一(直接法) 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A3种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C§A4种方法.由分类加法计数原理知共A：+ C2A4= 60种方法.法二（间接法）先任意安排3 个项目，每个项目各有4种安排方法，共43= 64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共43- 4= 64- 4= 60（种）.答案：D6．某次联欢会要安排3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120c．144 D ．168解析：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A3 • A34 = 144种，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A：• A2• A2= 24种，于是符合题意的排法共有144- 24= 120种.答案：B二、填空题7．7 位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有 ____________ 种排法．解析：先排最中间位置有1 种排法，再排左边3 个位置，由于顺序一定，共有C6种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为c63= 20（种）．答案：208 .若把英语单词good'的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有 _____________ 种．解析：把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d,共有A2种排法；第二步：排两个o,共1种排法，所以总的排法种数为A2= 12（种）.其中正确的有一种，所以错误的共A4- 1 =12- 1 = 11（种）.答案：119.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案有 _____________ 种.解析：分两步：先将四名优等生分成2, 1, 1三组，共有c2种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A3种.依分步乘法计数原理,共有N= c42A33= 36（种）.答案：3610 .将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在c 的同侧,则不同的排法共有 ____________ 种（用数字作答）.解析：分两步：①任意选3个空排A、B、C,共有C6 • C2 • A2种排法.②排其余的3个字母，有A3种排法，所以由分步乘法计数原理，共有C3• C2• A2• A3=480（种）排法.答案：480三、解答题11.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张,从中任取3 张,要求这3 张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多1 张，不同的取法有多少种？解：分两类：第一类，含有1 张红色卡片，共有不同的取法C41C212 =264（种）;第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C；2 —3C3= 220-12 =208（种）.由分类加法计数原理知不同的取法有264 + 208= 472（种）.12．由1，2，3，4，5 五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345,第2项是12 354,…直到末项（第120项）是54 321.问：43 251是第几项？解：比43 251 大的数有下列几类：①万位数是5的有A4 = 24（个）;②万位数是4、千位数是 5 的有A33= 6（个）；③万位数是4、千位数是3、百位数是5的有A22= 2个；所以比43 251 大的数共有A44+ A33+ A22= 32（个）,所以43 251是第120—32=88（项）．。