解法二：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人有 C36＝20 种选法，其中选出的 3 人都 是男生的选法有 C34＝4 种，所以至少有 1 位女生入选的选法有 20－4＝16 种．
考点突破 • 互动探究
考点一 排列问题——自主练透
•
例 1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：
• 5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至 少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)
16
[解析] 解法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情 况有以下 2 种：①2 女 1 男：有 C22C14＝4 种选法；②1 女 2 男：有 C12C24＝12 种选法， 故至少有 1 位女生入选的选法有 4＋12＝16 种．
• 题组三 考题再现
• 3．(2019·安庆模拟)某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其
中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 ( )
• A．84种 B．98种
D
• C．112种 D．140种
[解析] 由题意分析不同的邀请方法有： C12C58＋C68＝112＋28＝140(种)．
且 m，n∈N＋．
• 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 • (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． • (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． • (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排
列数或组合数．
题组一 走出误区 1．(多选题)下列结论正确的是( BD ) A．所有元素完全相同的两个排列为相同排列 B．两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 C．若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立 D．kCkn＝nCkn－－11
• 题组二 走进教材
• 2坐．法(P种27数A组为T716)6把椅子( 摆成) 一排，3人随机就座，任何两人不相邻的
• A．144 B．120
D
• C．72 D．24
[解析] “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何 两人不相邻的坐法种数为 A34＝4×3×2＝24．
(3)组合数的计算公式：Cmn ＝AAmmnm＝m！nn！ －m！＝nn－1n－m2！…n－m＋1，这
里规定 C0n＝__1___． (4)组合数的性质：①Cmn ＝__C__nn－_m__；②Cnm＋1＝___C_nm___＋__C__mn_－_1_． 注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意 Anm、Cmn 中的隐含条件 m≤n，
• (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人1 ；44_0_______
• (7)全体排成一排，甲必须排在乙前面；________
720
• (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端2．5_2_0______ 3 720
[解析] (1)从 7 个人中选 5 个人来排，是排列， 有 A75 ＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后排，有 A44种 方法，故共有 A73·A44＝5 040(种)．事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任 何限制条件． (3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600 种． 解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列，有 A62种方法，中间 5 个位置由余下 5 人和甲进行全排列，有 A55种方法， 共有 A62×A55＝3 600 种．
• (1)选其中5人排成一排；________
• (2)排成前后两排，前排3人，后排245人20；________
• (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；____5__0_4_0
• (4)全体排成一排，女生必须站在一起；________ 3 600
• (5)全体排成一排，男生互不相邻；________ 576
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第二讲 排列与组合
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
知识梳理 • 双基自测
• 知识点一 排列与排列数 • (1)排列的定义：从n个____不__同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定
的列顺序_．_______排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 • (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列
________________的个数叫做从n个不同元素中取出Anmm个元素的排列数， 用符号_______表示．
(3)排列数公式：Amn ＝___n_(_n_－__1_)(_n_－__2_)_…__(n_－__m__＋__1_)___．

(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，
• 4．(2019·晋中模拟)高三某班6名任课老师站在一排照相，要求甲与乙
相邻，丙与丁不相邻，则不同的站法有多少种
()
• A．144 B．72
A
• C．288 D．154
[解析] 甲与乙相邻，则将甲乙“捆绑”，作为一个整体，并与另外的两个人排 列，有 A22·A33种方法；丙与丁不相邻，采用插空法，有 A24种方法，根据分步计数原理， 共有 A22·A33·A24＝144 种方法．
A
n n
＝n×(n－
1)×(n－
2)×…×2×1
＝___n_！___.排
列
数公
式
写成
阶乘的
形式
为
Amn ＝
n－n！m！，这里规定 0！＝___1__．
知识点二 组合与组合数 (1) 组 合 的 定 义 ： 一 般 地 ， 从 n 个 ___不__同___ 元 素 中 取 出 m(m ＜ n) 个 元 素 __合__成__一__组____，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的___所__有__不__同__组__合___ 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号___C_nm___表示．