重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。

对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。

若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。

性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。

5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。

计算设有光滑曲线(),:[,],(),x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则(,)((),())Lf x y d s f t t d t βαϕψ=⎰⎰。

若曲线L 由方程(),[,]y x x a b ψ=∈表示，且()x ψ在[,]a b 上连续可导，则(,)(,(.bLaf x y ds f x x ψ=⎰⎰例1.设L 是24y x =从(0,0)O 到(1,2)A 一段，试计算第一型曲线积分.Lyds ⎰解24(1).3Lyds ==⎰⎰例2. 计算2,Lx ds ⎰其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周。

解 由对称性知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰第二型曲线积分（对坐标）有向曲线：带有方向的曲线称为有向曲线，其正方向是指从起点到终点的方向。

简单闭曲线的正方向是指逆时钟方向。

定义： 设函数(,)P x y 与(,)Q x y 定义在平面有向可求长度曲线L :AB 上，对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段1i i M M -(1,2,,),i n = 其中0,n M A M B ==。

记各小曲线段1i i M M -的弧长为i s ∆，分割T的细度1max .i i nT s ≤≤=∆ 又设T的分点i M 的坐标为(,)i ix y ，并记1,i i i x x x -∆=-1(1,2,,).i i i y y y i n -∆=-= 在每个小曲线段1i i M M -上任取一点(,)i i ξη，若极限11lim (,)lim (,)nni i i i i i T T i i P x Q y ξηξη→→==∆+∆∑∑存在，则称此极限为函数(,),(,)P x y Q x y 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分（对坐标），记为(,)(,)LP x y d xQ x y d y +⎰或(,)(,)ABP x y dx Q x y dy +⎰。

上述积分还可写作(,)(,)LLP x y dx Q x y dy +⎰⎰或(,)(,)ABABP x y dx Q x y dy +⎰⎰。

为方便，上述积分可简写成LPdx Qdy +⎰。

若L 是闭曲线，上述积分可写成LPdx Qdy +⎰。

若L 为空间有向可求长度曲线，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 为定义在L 上的函数，则类似地可定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，记为(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰可简写成LPdx Qdy Rdz ++⎰。

注：第一型曲线积分与曲线的方向无关，第二型曲线积分与曲线的方向有关。

性质： 1..ABBAPdx Qdy Pdx Qdy +=-+⎰⎰2. 若ii LPdx Q dy +⎰(1,2,,)i k =存在，则11k k i i i i Li i c P dx c Q dy ==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰也存在，且()111,k kki i i i i iiLLi i i c P dx c Q dy cPdx Q dy ===⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰其中(1,2,,)i c i k =为常数。

3. 若有向曲线L 是由有向曲线12,,,k L L L 首尾相接而成，且(1,2,,)iL Pdx Qdyi k +=⎰存在，则LPdx Qdy +⎰也存在，且1.ikLL i Pdx Qdy Pdx Qdy =+=+∑⎰⎰计算：设平面曲线(),:[,],(),x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为((),())ϕαψα与((),())ϕβψβ。

又设(,)P x y 与(,)Q x y 为L 上的连续函数，则''(,)(,)[((),())()((),())()].LLP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰⎰例1. 计算(),Lxydx y x dy +-⎰其中L 是由(1,1)A 沿抛物线22(1)1y x =-+到(2,3)B 的有向曲线。

解 L 为22(1)1,12,y x x =-+≤≤ 所以22212321(){[2(1)1][2(1)1]4(1)}10(10323512).3Lxydx y x dyx x x x x dx x x x dx +-=-++-+--=-+-=⎰⎰⎰例2.计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰，其中L 是螺旋线：cos ,sin ,x a t y a t z bt ===从0t =到t π=上的一段。

解 直接使用公式得32222223322220(c o s s i n c o s s i n c o s c o s )11111s i n s i n (1)s i n 2(1).32222|I a t t at a t t a bt d t a t a t a b tt a b πππ=-+-+⎡⎤⎛⎫=--+++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰应用 求变力作功力(,)((,),(,))F x y P x y Q x y =沿有向曲线L 对质点所作的功为 (,)(,)LW P x y dx Q x y dy =+⎰。

例3求在力(,,F y x x y z-++的作用下，质点由(,0,0)A a 沿螺旋线1L ：cos ,sin ,,02x a t y a t z bt t π===≤≤到(,0,2)B a b π所作的功。

解 由于sin ,cos ,dx a tdt dy a tdt dz bdt =-==，所以直接使用公式可得122222222()(sin cos cos sin )2().L W ydx xdy x y z dza t a t ab t ab t b t dt b a πππ=-+++=--+++=-⎰⎰习题 1. 计算||,Ly ds ⎰其中L 为单位圆周221x y +=。

2.计算⎰，其中L 是2222x y z a ++=与x y =相交的圆周。

3. 计算22,L xdx ydy x y -++⎰ 其中L 为圆周221x y +=，依逆时钟方向。

4. 计算Lxdx ydy zdz ++⎰，其中L ：从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段。

5. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(,0)a 沿椭圆移动到(0,)b ，求力所作的功。

答案：1. 4， 2. 22a π， 3. 0， 4. 13， 5. 22(),2k b a k -为比例系数。

二、二重积分定义：设D 为xy 平面上的有界闭区域，(,)f x y 为定义在D 上的函数。

用任意的曲线把D 分成n 个小区域12,,.n σσσ 以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的直径，称1max i i nT d ≤≤=为分割T 的细度。

在每个i σ上任取一点(,)i i ξη，作和式1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，称它为函数(,)f x y 在D上属于分割T 的一个积分和。

如果 01lim(,)niiiT i f ξησ→=∆∑存在，则称(,)f x y 在D 上可积，此极限值就称为(,)f x y 在D 上的积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)lim (,)ni i i DT i f x y d f σξησ→==∆∑⎰⎰。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,).DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[(,)(,)](,)(,).DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D ⋃上也可积，且1212(,)(,)(,).D D D D f x y d f x y d g x y d σσσ⋃=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,),x y D ∈ 则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰5. 若(,)f x y 在区域D 上可积，则函数(,)f x y 在区域D 上也可积，且(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰6. 若(,)f x y 在区域D 上可积，且(,),(,),m f x y M x y D ≤≤∈ 则 (,),D D DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰这里D S 是积分区域D 的面积。