曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题3.1)设粒子处在二维无限深势阱中，,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域,a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。
如，能级的简并度如何,解:能量的本征值和本征函数为2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mabny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2many,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaan,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy''n,11,n,2与) xy3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域,a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。
如，讨论能级的简并度。
解:能量本征值和本征波函数为22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyzny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyzn,n,n,1,2,3,？xyza,b,c当时，22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,,n,n,n时，能级不简并; xyzn,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
n,n,nxyz222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9),3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中，0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a,证明处于定态的粒子 ,(x)n2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。
n , ,证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数,2n(x),sinx. ,naa2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,042a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa2a6,,(1) (2) 22n,12在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, adxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 aadxa ， (3) ,,,xx,02a2adxa22,,,xx， ,03a222aa22() (4) x,x,x,x,,34当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
n,,3.4)设粒子处在一维无限深方势阱中，,0, x,a2V(x,y), ,,, x,a2,(n,1)处于基态，求粒子的动量分布。
,x2,cos解:基态波函数为 , (参P57，(12)) ,1aa,,aipx12x,2,,？(p),e,cosdx,a,aa2,2,,aipxixix11,,2aa,,,e,(e，e)dx,a,2,a2,,ppa，，ii,,，()()12aa,,,e，edx,,,,a,2,a2，，,,,pa,pa,pa,pa,,,,,,,,,,，，，，iiii,,,,，，,,,,,,,,111,,aaaa,,,,,,,,,,,,2222,,e,e，,e,e,,,,,,,,,pp,,,,a ,,,,,,,，，，，2i,,2i，,,,,,,aa,,,,,,,,,,,,papa111,,,cos，cos,,,,,pp2,2,a,,,,，,,a,a,,,3,2q,pa,cos 22222,,,,ap3,4,apa22,,()()cos动量的几率分布 p,p,222222,，，,,,ap3.5)设粒子处于半壁高的势场中,, x,0,,V(x),,V,0,x,a (1) ,0,0,x,a,求粒子的能量本征值。
求至少存在一条束缚能级的体积。
解:分区域写出: s.eq"'2,,(x)，k(x),0, 0,x,a11 (2) "2,(x),k,(x),0, x,a222,2,E'22其中 (3) ，，,，,,kVE, k022,,''ikx,ikx,(x),Ae，Be1方程的解为 (4) kx,kx,(x),Ce，De2根据对波函数的有限性要求，当时，有限，则 x,,,(x)2C,0当x,0时，，则A，B,0 ,(x),01',(x),Fsinkx, 0,x,a1于是 (5) ,kx,(x),De , x,a2在处，波函数及其一级导数连续，得 x,a',ka'',ka (6) Fsinka,De, kFcoska,,kDe'k'tgka上两方程相比，得 ,, (7) k，，V，E2,0tga，，V，E,,,即(7’) ,,02E,，，'若令 (8) ka,,, ka,,则由(7)和(3)，我们将得到两个方程:,,,,,ctg ( 9),,2V,(10)式是以,20，,a (10) ,,2,,,2为半径的圆。
对于束缚态来说，， ,V,E,0r,2,V,a00,,,,ctg,,结合(3)、(8)式可知，和都大于零。
(10)式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚,,2V0a,,2态能级。
当，即，亦即 r,,22,222,Va,,,8 (11) 0时，至少存在一个束缚态能级。
这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6)求不对称势阱中粒子的能量本征值。
解:仅讨论分立能级的情况，即，0,E,V22,d2mV,E，，？,, 2,dx,,0当x,,,时，，故有kx1,Ae,x,0,k,2mV,E,，，111,，，，，Asinkx,0xa,k2mE,,,,，,,,,,, , ,kx,2，，Ae,a,x,k,2mV,E,222,dln,x,0由在、处的连续条件，得 x,adx(1) ，，k,kctg,, k,,kctgka，,12,k由(1a)可得 (2) sin,,2mV1ka，,由于皆为正值，故由(1b)，知为二，四象限的角。
k,k,k12,k因而 (3) sinka，,,，，,2mV2又由(1)，余切函数的周期为，故由(2)式，，，,ctg,k1,nsin (4) ,,,，12mV1,k1,kansin由(3)，得 (5) ，,,,,2mV2,k,k11,,kansinnsin结合(4),(5)，得 ,,,,,,212mV2mV21,k,k11,,kansinsin或 (6) ,,,,2mV2mV12n,1,2,3,？一般而言，给定一个值，有一个解，相当于有一个能级: knn22k,nE, (7) n2ma2mVV,21,2,,sin当时，仅当 V,V21,2V1,,V,,,12,,,,asin才有束缚态，故给定时，仅当 (8) V,V12,,2V2mV12,, V时才有束缚态(若，则无论和的值如何，至少总有一个能级) V,V,Va12当给定时，由(7)式可求出个能级(若有个能级的话)。
相应的波函数为:V,V,ann12,k,kxn,,,Ae ,x0 ,k2m，，VE,n1n1,2mV1,,，，,Asinkx， , 0,x,a,,, ,nnnn ,,kn1,,k，，x,a2n2n，，，，A,1e ,x,a ,k,2mV,E,,n2n22mV,2,，，A,2a，1k，1k其中 n1n2nE,03—7)设粒子(能量)从左入射，碰到下列势阱(图)，求阱壁处的反射系数。
,,,0,Vx,0(),解:势阱为 Vx,0,,0.x,在区域?上有入射波与反射波，在区域?上仅有透射波。
故ikxikx,11,,Ae，Be,k,2mV，E,，，110 ikx2,,Ce,k,2mE,22A，B,C由，得。
,(0),,(0)12''由，得。
,(0),,(0)，，kA,B,kC1212从上二式消去c, 得。
，，，，k,kA,k，kB121222k,k，，B212R,r,,反射系数 22A，，k，k12将代入运算，可得 k,k12222,,,V16E,EVV000,, R,41,4EV,E,,V00，，，，VEE,03—8)利用Hermite多项式的递推关系(附录A3。
式(11))，证明谐振子波函数满足下列关系，，1nn，1,,,x(x),(x)，(x),,nn,1n，1,22，，12,,，，，，，，，，,x(x),nn,,1(x)，2n，1,(x)，n，1n，2,(x)nn,2nn，222,x,0, V,E2并由此证明，在态下， ,nn22x,,2,(x),AeH(,x)证:谐振子波函数 (1) nnn,其中，归一化常数 A,, ,,m,, (2) nn,2,n!,的递推关系为 (3) H(,x),2,xH(,x)，2nH(,x),0.H(,x)n，1nn,1n,,,,,,22221,x2,x2？x(x),Ae,xH(x),Ae,2xH(x),nnnnn2,22,,1,x2,,,AeH(x)，2nH(x),nn，1n,12x,,,,222211,,,x2,x2,,,e,nH(x)，,,e,H(x)n,1n，1,,,,nn2,2,n!,2,n!,221n,,x2,,,,,e,H(x)n,1n,1,,2，，,2,n,1!,221n，1,,x2, ，,,,e,H(x)n，1n，1,,2，，,2,n，1!，，1nn，1,(x),(x),，,,n,1n，122,，，，，1nn，12,,,？x(x),x(x)，x(x),,nn,1n，1,22，，,,，，，，1nn,1nn，1n，1n，2,,,,,,,(x)，(x)，(x)，(x) ,,,,,,n,2nnn，22,222222,,，，，，,,1,,，，，，，，，，,nn,,1(x)，2n，1,(x)，n，1n，2,(x)n,2nn，222, ，,，,，，1nn，1**x,,,xdx,,(x),,(x)，,(x)dx,0 ,,nnnn,1n，1,,22,,,,,，，，,1*22,,,V,(x),mx,(x)dxnn,2,,11*2,,,，，,(x),m,,2n，1(x)dx nn2,,221111,,2，，,m,,,2n，1,n，,,,E2,,n22222,,,3—9)利用Hermite多项式的求导公式。
证明(参A3.式(12))，，dnn，1,,,,(x),,,,nn,1n，1dx22，，22,d,,，，，，，，，，,(x),nn,,1,2n，1,，n，1n，2,nn,2nn，222dx ,dH(x)'n证:A3.式(12):H,(),2nH,(), ,2n,H(,x) nn,1n,1dx2222d,,,,,,,22,x2,x2(x),A,,xeH(x)，e,2nH(x),,，，nnnn,1dx2,,,,,,x(x)，2n(x)nn,1，，nn，1 ,,,,,,,(x)，(x)，,2n(x),,n,1n，1n,122，，，，nn，1,,(x),(x),,,,n,1n，122，，2,,，，，，dnn,1nn，1n，1n，2,,,,,,,,,,(x),,,,,,,,,,,,nn,2nnn，22222222dx,,，，，，,, 2,,,，，，，，，，，,nn,,1,2n，1,，n，1n，2,n,2nn，22，，dnn，1,,**，，p,,,i,,dx,,i,,,,,,,dx,0 ,,,,nnnn,1n，1,,dx22,,，，222,,p,d*,,,,T,,,,dxnn,2,,22mmdx,,22,,*,,,,,,12112，，，，，，，， ,,,nn,,n，，n，n，dx,，nn2nn2,22m 222E,,11,,m,,*n，，，，,,2n，1,,dx,,,2n，1,n，,,,,,nn,44222,mm,, 3—10)谐振子处于态下，计算 ,n112222，，，，,x,,p,?，，，，，， ,x,x,x,p,p,p,,,,，，，，1,,n，,,,EV22,,2n 解:由题3—6)，xx,0, ,,,22m,m,m,1,,2p,0, p,2mT,mE,n，m,, 由题3—7)， ,,n2,,1112222，，1,2,,，，2,x,x,x,x,x,n，，，，，,,,,,,,2m，，,,，，1112222，，12,,，，2，，，，,p,p,p,p,p,n，m,, ,,,,,,2，，,,，，1,,,x,,p,n，,,,2,,对于基态，，刚好是测不准关系所规定的下限。