第17讲、二次函数最值及应用(B)
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一、知识梳理：
知识点一：二次函数的最值：
知识点二：利用二次函数研究“最大利润”：
利用二次函数解决实际问题中的最值问题（如最大利润）的步骤为：
（1）分析题意，设出自变量x ，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数关系式； （2）利用公式法或者配方法求出其最大（小）值； （3）结合相关问题写出结果。
二、精典题型例析：
考点一、求二次函数的最值
例1．求二次函数223y x x =-+的最值。
（用两种方法）
考点二、区间最值
例2．分别在下列范围内求函数223y x x =-+的最小值和最大值。
（1）20≤≤x （2）23x ≤≤ （3）30x -≤≤
2
A ． ﹣10.5
B ． 2
C ． ﹣2.5
D ． ﹣6
考点三、面积最值问题
例3、（2012·张家界）.如图，抛物线
233
5
2++
-=x x y 与x 轴交于 C 、A 两点，与y 轴交于点B ，OB =2点O 关于直线AB 的对称点为D . （1） 分别求出点A 、点B 的坐标 （2） 求直线AB 的解析式, （3） 若反比例函数x
k
y =
的图像过点D ，求k 值. （4）两动点P 、Q 同时从点A 出发，分别沿AB 、AO 方向向B 、O 移动，点P 每秒移动1个单位，点Q 每秒移动
2
1
个单位，设△POQ 的面积为S ，移动时间为t ,问：S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值，若不存在，请说明理由.
考点四、应用题中的最值问题 例4、（2014.成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB 、BC 两边），设AB=x 米。
（1）若花园的面积为192平方米，求x 的值； （2）若在P 处有一棵树与墙CD 、AD 的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S 的最大值。
y
x
B
D
P
A
Q O
C
2
例5：（2011黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润()2
16041100
P x =-
-+（万元）
．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润
()()2
992941001001601005
Q x x =-
-+-+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
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1．（2015•温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m ，则能建成的饲养室面积最大为 m 2．
2．（2014•杭州）复习课中，教师给出关于x 的函数y=2kx 2﹣（4k+1）x ﹣k+1（k 是实数）． 教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条： ①存在函数，其图象经过（1，0）点； ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x ＞1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值为正数，若函数有最小值，则最小值为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
3．（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB ∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
【家庭作业】
第一部分
1．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）
A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个
第二部分：
2．（2015•莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．3、已知二次函数y=ax2+bx+c, 当x=1时，有最值为16，且它在x轴上截得的线段为8。
则a、b、
c的值是___ _____________。
4．（2015•营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
第三部分：
5．（2014•泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经
过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程=0的
根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．。