第三章 基本初等函数（Ⅰ）一、指数和指数函数 ①指数1、定义：na 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。

规定：1a a = 2、整数指数幂的运算法则： mnm na a a +⋅= ()nm m n aa = (),0m m n n a a m n a a-=>≠ ()mm m ab a b =⋅规定：()010a a =≠，；()10nn aa a-=≠ 3、平方根：如果2x a =，则x 叫做a 的平方根当0a >时，有两个平方根，互为相反数，记作：a ±（a 为算术平方根） 当0a =时，00=当0a <时，在实数范围内没有平方根立方根：如果3x a =，则x 叫做a 的立方根（或三次方根）在实数范围内a 只有一个立方根，记作3a 举例382=，382-=-，311273-=- n 次方根：如果n x a =（,1,a R n n N +∈>∈），则x 叫做a 的n 次方根 注意：（1）偶次方根： 正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作：,,n n a a -（0,a a >为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在（2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为n a （3）算术根： 正数的正n 次方根叫做的a 的n 次算术根 4、根式：当n a 有意义时，n a 叫做根式，n 叫做根指数 5、根式性质：（1）()()1,nna a n n N +=>∈；（2）,,nna n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 6、分数指数幂性质：（1）()10nna a a =>；（2）()()()11,0mm mnmmnnn n a a a aa a ⎛⎫====> ⎪⎝⎭；（3）11mnm nmnaaa-==1、定义：一般地，函数x y a =，()0,1a a >≠叫做指数函数。

2、指数函数的特征：（1）自变量在指数位置上；（2）系数为1，底数0,1a a >≠，如2x y a = 不是指数函数3、函数图像性质：指数函数x y a =，()0,1a a >≠的图像性质定义域 R图像1a >01a <<值域 ()0,+∞奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数过定点 ()0,1单调性1a >01a <<在R 上是增函数在R 上是减函数 函数值与1比较0x >时，1y >01x <<时，01y <<0x >时，01y << 01x <<时，1y >图像与底数a 的关系在y 轴右侧，底数a 越大，图像弯向y 轴4、底数性质探究：作直线1x =，与四个函数图像均有一个交点，并且交点的纵坐标依次为,,,c d a b 观察图像即可得到大小关系为 1c d a b >>>>1 0 xy10 xy1110987654321-8-6-4-2246810y=b xy=c x y=d xy=a x例一、三个数()20.31,0.3,2的大小顺序是 【()20.30.312<<】解：()20.30.09=，又知道2x y =为增函数，当0x =时，1y =。

故当0.30x =>时，1y >，即()20.30.312<<。

例二、不等式21133x x +-⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是 【12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭】解：()22121333x x x ++---⎛⎫== ⎪⎝⎭，原式可化简为1233x x --->由于3x y =是增函数，故函数值大的自变量也大，即12x x ->-- 解得12x >-例三、函数122x y -=-的定义域为 【{}2x x ≥】解：根据定义要求，偶次方根下被开方数大于等于零，得到11122022x x ---≥⇒≥，由于2x y =是增函数，故11x -≥，即2x ≥例四、求值：（1）--+-11-203217(0.027)(-)(2)(2-1)79（2）32111334423234x y x y xy --⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）--+-11-203217(0.027)(-)(2)(2-1)79()150.349131054914533-=-+-=-+-=-（2）()321112133344112134433322332322727272244x y x y x y y y xy xy --++-+--⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例五、已知3x x --=1122，则1x x -+= ；2x x -+2 = 【11；119】解： 由于3x x --=1122，两边平方得到11112911x x x x --+-=⇒+= 再将1111x x-+=，两边平方得到22222121119x x x x --++=⇒+=二、对数和对数函数 ①对数1、定义：指数函数()0,1x y a a a =>≠中，对于R 内的每一个值x ，在正实数集R +内都有唯一的y 值和它对应，反之，对于正实数集R +内每一个确定的值y ，在R 内都有唯一确定的值x 和它对应，幂指数x ，又叫以a 为底y 的对数。

2、对数与指数的互化：一般地，对于指数式ba N =，把“以a 为底N 的对数”，记作log a N 即：ba N =⇔log a Nb =，()0,1a a >≠a 为对数的底数，N 叫做真数 log a Nb =“a 的b 次方等于N ”对数式是指数式的另一种表达形式指数 对数b N a = log a N b =底数幂 真数 3、对数恒等式：log a NaN =，()0,1a a >≠，0N >4、对数的性质：（1）0和负数没有对数：0N >（2）1的对数为0： ()log 101a a == （3）底的对数等于1：()1log 1a a a a ==5、常用对数：以10为底的对数10log a ，简记为lg a 以e 为底的对数log a ，简记为ln a6、对数运算法则：（1）()log log log a a a MN M N =+推广：()1212log log log log a k a a a k N N N N N N ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅（2）log log log aa a M M N N =-；（3）log log a a M M αα=（推广：log log a a M M βααβ=） 7、换底公式：log log log a b a NN b=②对数函数1、对数函数定义：一般地，函数log a y x =，()0,1a a >≠叫做对数函数。

2、对数函数的特征：（1）自变量在真数位置上；（2）底数0,1a a >≠，真数大于03、对数函数的图像特征：对数函数log a y x =，()0,1a a >≠的图像性质定义域 ()0,+∞图像1a >01a <<值域 R奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数过定点 ()1,0单调性1a >01a <<在R 上是增函数在R 上是减函数 函数值与1比较1x >时，0y >01x <<时，0y <1x >时，0y < 01x <<时，0y >1 0 xy1 0 xya 的关系底数性质研究：③指数函数和对数函数的关系反函数定义：当一个函数是一一映射时，把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，把这个函数的自变量作为新函数的因变量，称这两个函数互为反函数()y f x =的反函数通常用()1y f x -=表示性质：（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域 （2）若点(),a b 在原函数()y f x =，则点(),b a 在反函数()1y f x -=上（3）图像关于直线y x=对称★经典例题：例一、22lg 2lg 4lg5lg 5++ 的值等于 【1】解：2222222lg 2lg4lg5lg 5lg 2lg2lg5lg 5lg 22lg2lg5lg 5++=++=++ ()()22lg 2lg 5lg 251=+=⨯=例二、（1）求值[]432log log log 8=() 【0】（2）若[]235log log log 0x =()，求x 值 【125】 解：（1）[]()432434log log log 8log log 3log 10===()（2）[]()235355log log log 0log log 1log 3125x x x x =⇒=⇒=⇒=()例三、29log 3log 4 的值为 【1】解：2292lg3lg 4lg3lg 2lg32lg 2log 3log 41lg 2lg9lg 2lg3lg 22lg3=⨯=⨯=⨯=例四、求值5log 3515521log 352log 2log log 14550+--+ 【5】 解：5log 3515521log 352log 2log log 14550+--+ ()()21515525log 35log 2log 50log 1433550log 1332514-=+--+⨯⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭例五、求下列函数的定义域：（1）()7log x f x x +(2)()=3-；（2）()()21log 1f x x =-+ 解：（1）满足270;30;271x x x +>->+≠，解得7332x x x ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且 （2）满足210;1log 0x x +>-≥，即221;log 1log 22x x x >-≤=⇒≤解得{}12x x -<≤例六、已知c a b 212121log log log <<，则( ) 【A 】(A) 222bac>>； (B) 222abc>>； (C) 222cba>> (D) 222cab>> 解：由于12log y x =是减函数，又有c a b 212121log log log <<故b a c >>，而2x y =是R 上的增函数，则222bac>>。

例七、求实数x 的取值范围：（1）()()0.60.6log 2log 1x x <- （2）()()22log 12log 1x x -?+解：（1）由于0.6log y x =在定义域内是减函数，故函数值小的，自变量反而大即211x x x >-⇒>-（2）()()22log 12log 1x x -?+可化简为()()22log 1log 12x x -++即()()22log 112log 4x x 轾-+?臌，由于2log y x =是增函数所以()()211450x x x -+侈- ，即{}5,5x x x ≥≤-例八、判断函数1lg1xf x x -+()=的奇偶性 解：函数的定义域为()()10110111xx x x x-≥⇒-+≤⇒-≤≤+关于原点对称 ()1111lg lg lg 111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭(-)=，即该函数为奇函数例九、判断372log ,log 6,log 0.8a b c π===的大小关系 解：132732log ;log ;log y x y x y x ===均为定义域上的增函数由于3π>，故3log 1π>；而167<<，则70log 61<< 但00.81<<，则2log 0.80<。