专题10 几何最值问题【十二个基本问题】1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A．61cm B．11cm C．13cm D．17cm第1题第2题第3题第4题'2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20 15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则EF的最小值为（）A．2 B．C．D．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5 3 D．65．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB＝4,BC＝4,CC＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3）在（2）的条件下，求点B到最短路径的距离．·6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P、P分别在OA、OB上，求作点P、P,使△PPP的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求△PPP的周长．7．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________． ?第7题 第8题 第9题8．如图，在等腰Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ．9．如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧(⌒)AB 上一动点,AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）A ．12B ．22C ．32D ．3410．如图，已知抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 与一直线相交于A (－1，0)，C (2，3)两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．(1)抛物线及直线AC 的函数关系式；(2)设点M (3，m )，求使MN ＋MD 的值最小时m 的值；(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；(4)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．~…11．如图，抛物线l交x轴于点A(－3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，－3)．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l．(1)求l的解析式；(2)在l的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A及C两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线l于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．—【{12．(2016﹒朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°,∠ADP＋∠ADE＝180°,即B、P、D、E四点共线，故PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE．在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A＋P′B＋P′C＞PA＋PB＋PC,即点P到三个顶点距离之和最小．%|!13．问题提出（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）．问题探究（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值．问题解决：@（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=42，若对角线BD⊥CD于点D，请直接写出对角线AC的最大值．。

\14．如图所示，已知抛物线y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y ＝－ 3x ＋b 与抛物线的另一个交点为D ．(1)若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；(3)在(1)的条件下，设点E 是线段AD 上的一点(不含端点)，连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒2 33个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少&\，答案1．平面展开－－－最短路径问题解：如图所示：.∵长方体的底面边长分别为2cm 和4cm,高为5cm ．∴PA ＝4＋2＋4＋2＝12(cm),QA ＝5cm,∴PQ ＝PA 2＋AQ 2＝13cm ．故选：C ．2．解：设扇形的圆心角为n ，圆锥的顶为E ,∵r ＝20cm,h ＝20 15cm∴由勾股定理可得母线l ＝r ＋h ＝80cm,而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝n π×80180,∴n ＝90°即△EAA ′是等腰直角三角形，*∴由勾股定理得：AA '＝A ′E ＋AE ＝80 2cm ．答：蚂蚁爬行的最短距离为80 2cm ．故答案为：80 2cm ．3．解：连接AP ,∵在△ABC 中，AB ＝3,AC ＝4,BC ＝5，∴AB ＋AC ＝BC ,即∠BAC ＝90°．又∵PE ⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP ，∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，即,￥∴EF 的最小值为,故答案为：．4．解：过B 点作AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到E 点，过E 作EF 垂直AB 交AB 于F 点，AC ＝5 5,AC 边上的高为＝A B ﹒BC AC ＝25,所以BE ＝4 5． ∵△ABC ∽△EFB ,∴AB EF ＝AC BE ,即10EF ＝5 54 5EF ＝8．故选：B ．5．解：（1）如图，木柜的表面展开图是矩形ABC 'D 或ACCA ．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC '或AC ;$（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC 'D 爬过的路径AC '的长是l ＝4＋(4＋5)．蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形ABCD 爬过的路径AC 的长l ＝97,蚂蚁沿着木柜表面ACCA 爬过的路径AC 的长是l ＝(4＋4)＋5．l ＞l ,故最短路径的长是l 89．（3）作BE ⊥AC 于E ，∵∠CEB ＝∠CAA ,∠ACA 是公共角，∴△AAC ∽△BEC ,即BE AA ＝BC AC ,则BE ＝BC AC ﹒AA ＝489﹒5＝2089为所求． 6．解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点M 、N ，连接MN ，分别交OA 、OB 于点P 、P ,连接OM 、ON 、PP 、PP ,此时△PPP 的周长最小,△PPP 的周长＝PP ,PP ＋PP ＋PP ＝MP ＋PP ＋NP ＝MN ，…∵M 、N 分别是P 关于OA 、OB 的对称点，∴∠MOA ＝∠AOP ,∠NOB ＝∠BOP ,PP ＝PM ,PP ＝PN ,MO ＝PO ＝NO ，∴∠MON ＝∠MOA ＋∠AOP ＋∠NOB ＋∠BOP ＝2∠AOB ,∵∠AOB ＝30°,∴∠MON ＝2×30°＝60°,∴△OMN 是等边三角形，又∵△PPP 的周长＝PP ,PP ＋PP ＋PP ＝MP ＋PP ＋NP ＝MN ，∴△MNP 的周长＝MN ＝MO ＝PO ＝10cm ．7．解：在正方形ABCD 中,AB ＝AD ＝CD ,∠BAD ＝∠CDA ,∠ADG＝∠CDG ,在△ABE 和△DCF 中,（⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD∠BAD ＝∠CDA AE ＝DF, ∴△ABE ≌△DCF (SAS ),∴∠1＝∠2,在△ADG 和△CDG 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD∠ADG ＝∠CDG DG ＝DG, ∴△ADG ≌△CDG (SAS ),∴∠2＝∠3,∴∠1＝∠3,∵∠BAH ＋∠3＝∠BAD ＝90°,∴∠1＋∠BAH ＝90°,∴∠AHB ＝180°－90°＝90°,取AB 的中点O ,连接OH 、OD ,则OH ＝AO ＝12AB ＝1,在Rt △AOD 中,OD ＝AO ＋AD ＝1＋2＝5,根据三角形的三边关系,OH ＋DH ＞OD ,∴当O 、D 、H 三点共线时,DH 的长度最小, ?最小值＝OD －OH ＝5－1．(解法二：可以理解为点H 是在Rt △AHB ,AB 直径的半圆(⌒)AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时,DH 长度最小)故答案为：5－1．8． 解：连结AE ，如图1，∵∠BAC ＝90°,AB ＝AC ,BC ＝4 2,∴AB ＝AC ＝4，∵AD 为直径，∴∠AED ＝90°,∴∠AEB ＝90°,∴点E 在以AB 为直径的⊙O 上，∵⊙O 的半径为2，∴当点O 、E 、C 共线时，CE 最小，如图2,在Rt △AOC 中，∵OA ＝2,AC ＝4，~∴OC ＝OA ＋AC ＝2 5,∴CE ＝OC －OE ＝2 5－2,即线段CE 长度的最小值为2 5－2．故答案为2 5－2．9．解：连结OA 、OB ，作△ABC 的外接圆D ，如图1，∵OA ＝OB ＝1,AB ＝1，∴△OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°,∴∠APB ＝12∠AOB ＝30°,∵AC ⊥AP ,∴∠C ＝60°,@∵AB ＝1，要使△ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，∵∠ACB ＝60°,点C 在⊙D 上，∴∠ADB ＝120°,如图2，当点C 优弧AB 的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时△ABC 为等边三角形，且面积为34AB ＝34,∴△ABC 的最大面积为34．故选：D ．10． 解：(1)由抛物线y ＝－x ＋bx ＋c 过点A (－1,0)及C (2,3)得,⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0－4＋2b ＋c ＝3,解得 ⎩⎨⎧b ＝2c ＝3, 故抛物线为y ＝－x ＋2x ＋3又设直线为y ＝kx ＋n 过点A (－1,0)及C (2,3)得⎩⎨⎧－k ＋n ＝02k ＋n ＝3,解得 ⎩⎨⎧k ＝1n ＝1故直线AC 为y ＝x ＋1;](2)如图1,作N 点关于直线x ＝3的对称点N ′,则N ′(6,3),由(1)得D (1,4),故直线DN ′的函数关系式为y ＝－ 15x ＋ 215,当M (3,m )在直线DN ′上时,MN ＋MD 的值最小, 则m ＝－ 15×3＋ 215＝185;(3)由(1)、(2)得D (1,4),B (1,2),∵点E 在直线AC 上,设E (x ,x ＋1),①如图2,当点E 在线段AC 上时,点F 在点E 上方,则F (x ,x ＋3),∵F 在抛物线上,∴x ＋3＝－x ＋2x ＋3,}解得,x ＝0或x ＝1(舍去)∴E (0,1);②当点E 在线段AC (或CA )延长线上时,点F 在点E 下方,则F (x ,x －1)由F 在抛物线上∴x －1＝－x ＋2x ＋3解得x ＝1－ 172或x ＝1＋ 172∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ 172, 3－ 172或⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋ 172, 3＋ 172 综上,满足条件的点E 的坐标为(0,1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－ 172, 3－ 172或⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋ 172, 3＋ 172;(4)方法一：如图3,过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ,交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,设Q (x ,x ＋1),则P ()x ,－x ＋2x ＋3∴PQ ＝()－x ＋2x ＋3－(x ＋1)＝－x ＋x ＋2又∵S ＝SS ＝12PQ ﹒AG ＝12()－x ＋x ＋2×3＝－ 32⎝⎛⎭⎫x － 12＋ 278 ∴面积的最大值为278．方法二：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ,交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,如图3,设Q (x ,x ＋1),则P ()x ,－x ＋2x ＋3又∵S ＝S _(△APH )＋S _(直角梯形PHGC )－S _(△AGC ) ＝12(x ＋1)()－x ＋2x ＋3＋ 12()－x ＋2x ＋3＋3(2－x )－ 12×3×3＝－ 32x ＋ 32x ＋3/＝－ 32⎝⎛⎭⎫x － 12＋ 278 ∴△APC 的面积的最大值为278．11．解：(1)如图1所示,设经翻折后,点A 、B 的对应点分别为A 、B ,依题意,由翻折变换的性质可知A (3,0),B (－1,0),C 点坐标不变,因此,抛物线l 经过A (3,0),B (－1,0),C (0,－3)三点,设抛物线l 的解析式为y ＝ax ＋bx ＋c ,则有：⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0a －b ＋c ＝0c ＝－3,解得a ＝1,b ＝－2,c ＝－3,故抛物线l 的解析式为：y ＝x －2x －3．(2)抛物线l 的对称轴为：x ＝－ b 2a ＝1,如图2所示,连接BC 并延长,与对称轴x ＝1交于点P ,则点P 即为所求．、此时,|PA －PC |＝|PB －PC |＝BC ．设P ′为对称轴x ＝1上不同于点P 的任意一点,则有：|P ′A －P ′C |＝|P ′B _(1)－P ′C |＜B _(1)C (三角形两边之差小于第三边),故|P ′B －P ′C |＜|PA －PC |,即|PA －PC |最大．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ,则有：⎩⎨⎧－k ＋b ＝0b ＝－3,解得k ＝b ＝－3,故直线BC 的解析式为：y ＝－3x －3．令x ＝1,得y ＝－6,故P (1,－6)．(3)依题意画出图形,如图3所示,有两种情况．①当圆位于x 轴上方时,设圆心为D ,半径为r ,由抛物线及圆的对称性可知,点D 位于对称轴x ＝1上,则D (1,r ),F (1＋r ,r )．:∵点F (1＋r ,r )在抛物线y ＝x －2x －3上,∴r ＝(1＋r )－2(1＋r )－3,化简得：r －r －4＝0解得r ＝17＋12,r ＝ (－ gh (17)＋1)/(2)(舍去),∴此圆的半径为17＋12;②当圆位于x 轴下方时,同理可求得圆的半径为17－12． 综上所述,此圆的半径为17＋12或17－12．12．解：（1）如图1，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ,∴∠PAD ＝60°,△PAC ≌△DAE ,∴PA ＝DA 、PC ＝DE 、∠APC ＝∠ADE ＝120°,∴△APD 为等边三角形，∴PA ＝PD ,∠APD ＝∠ADP ＝60°,∴∠APB ＋∠APD ＝120°＋60°＝180°,∠ADP ＋∠ADE ＝180°,即B 、P 、D 、E 四点共线， "∴PA ＋PB ＋PC ＝PD ＋PB ＋DE ＝BE ．∴PA ＋PB ＋PC 的值最小．（2）方法一：如图2，分别以AB 、BC 为边在△ABC 外作等边三角形，连接CD 、AE 交于点P ，∴AB ＝DB 、BE ＝BC ＝8、∠ABD ＝∠EBC ＝60°,∴∠ABE ＝∠DBC ,在△ABE 和△DBC 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB∠ABE ＝∠DBC BE ＝BC，∴△ABE ≌△DBC (SAS ),∴CD ＝AE 、∠BAE ＝∠BDC , 又∵∠AOP ＝∠BOD ,∴∠APO ＝∠OBD ＝60°,在DO 上截取DQ ＝AP ，连接BQ ，在△ABP 和△DBQ 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB∠BAP ＝∠BDQ AP ＝DQ，∴△ABP ≌△DBQ (SAS ), ∴BP ＝BQ ,∠PBA ＝∠QBD , 又∵∠QBD ＋∠QBA ＝60°,∴∠PBA ＋∠QBA ＝60°,即∠PBQ ＝60°,∴△PBQ 为等边三角形，∴PB ＝PQ ，则PA ＋PB ＋PC ＝DQ ＋PQ ＋PC ＝CD ＝AE ，;在Rt △ACE 中，∵AC ＝6、CE ＝8，∴AE ＝CD ＝10，故点P 到三个顶点的距离之和的最小值为10．方法二：如图3，由（2）知，当∠APB ＝∠APC ＝∠BPC ＝120°时,AP ＋BP ＋PC 的值最小，把△CPB 绕点C 逆时针旋转60°得△CP ′B ′,由（2）知A 、P 、P ′、B ′共线，且AP ＋BP ＋PC ＝AB ′,∠PCB ＝∠P ′CB ,∴∠PCB ＋∠PCA ＝∠P ′CB ＋∠PCA ＝30°,∴∠ACB ′＝90°,∴AB ′＝AC ＋B ′C ＝AC ＋BC ＝1013．解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ,AB ＝b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC ＋AB ＝a ＋b , ！故答案为：CB 的延长线上,a ＋b ;（2）①CD ＝BE ， 理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD ＝AB ,AC ＝AE ,∠BAD ＝∠CAE ＝60°, ∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ,即∠CAD ＝∠EAB ,在△CAD 与△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB∠CAD ＝∠EAB AC ＝AE，∴△CAD ≌△EAB (SAS ),∴CD ＝BE ； ②∵线段BE 长的最大值＝线段CD 的最大值，∴由（1）知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝3＋6＝9；[（3）如图1，连接BM ，∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ,连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形, ∴PN ＝PA ＝2,BN ＝AM ，∵A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),∴OA ＝2,OB ＝5， ∴AB ＝3，∴线段AM 长的最大值＝线段BN 长的最大值，∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值＝AB ＋AN ,∵AN ＝2AP ＝2 2,∴最大值为2 2＋3;如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ，∵△APN 是等腰直角三角形，∴PE ＝AE ＝2,∴OE ＝BO －AB －AE ＝5－3－ 2＝2－ 2,{{}}∴P (2－ 2, 2)．（4）如图4中，以BC 为边作等边三角形△BCM ,∵∠ABD ＝∠CBM ＝60°,∴∠ABC ＝∠DBM ,∵AB ＝DB ,BC ＝BM ，∴△ABC ≌△DBM ,∴AC ＝MD ，∴欲求AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可，∵BC ＝4 2＝定值,∠BDC ＝90°,∴点D 在以BC 为直径的⊙O 上运动，由图象可知，当点D 在BC 上方,DM ⊥BC 时，DM 的值最大，最大值＝2 2＋2 6,∴AC 的最大值为2 2＋2 6． 14．解：(1)∵y＝a (x ＋3)(x －1),∴点A 的坐标为(－3,0)、点B 两的坐标为(1,0),∵直线y ＝－ 3x ＋b 经过点A ,∴b ＝－3 3,∴y ＝－ 3x －3 3,当x ＝2时,y ＝－5 3, 则点D 的坐标为(2,－5 3),∵点D 在抛物线上,∴a (2＋3)(2－1)＝－5 3,解得,a ＝－ 3,则抛物线的解析式为y ＝－ 3(x ＋3)(x －1)＝－ 3x －2 3x ＋3 3;(2)如图1中,作PH ⊥x 轴于H ,设点 P 坐标(m ,n ),当△BPA ∽△ABC 时,∠BAC ＝∠PBA ,∴tan ∠BAC ＝tan ∠PBA ,即OC OA ＝PH HB ,∴－3a 3＝－n －m ＋1,即n ＝－a (m －1),∴ ⎩⎨⎧n ＝－a (m －1)n ＝a (m ＋3)(m －1)解得m ＝－4或1(舍弃), 当m ＝－4时,n ＝5a ,∵△BPA ∽△ABC ,∴AC AB ＝AB PB ,∴AB ＝AC ﹒PB ,∴4＝9a ＋9﹒ 25a ＋25,解得a ＝－ 1515或 (gh (15))/(15)(舍弃),则n ＝5a ＝－ 153,∴点P 坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－4,－ 153． 当△PBA ∽△ABC 时,∠CBA ＝∠PBA ,∴tan ∠CBA ＝tan ∠PBA ,即OC OB ＝PH HB ,∴－3a 1＝－n －m ＋1,∴n ＝－3a (m －1),∴ ⎩⎨⎧n ＝－3a (m －1)n ＝a (m ＋3)(m －1),解得m ＝－6或1(舍弃), 当m ＝－6时,n ＝21a ,∵△PBA ∽△ABC ,∴BC BA ＝AB PB ,即AB ＝BC ﹒PB ,∴4＝1＋9a ﹒ 7＋(－21a ),解得a ＝－ 77或(77 不合题意舍弃),则点P 坐标(－6,－37), 综上所述,符合条件的点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－4,－ 153和(－6,－3 7)． (3)如图2中,作DM ∥x 轴交抛物线于M ,作DN ⊥x 轴于N ,作EF ⊥DM 于F ,则tan ∠DAN ＝DN AN ＝5 35＝3,∴∠DAN ＝60°,∴∠EDF ＝60°,∴DE ＝EF sin ∠EDF ＝2 33EF ,∴Q 的运动时间t ＝BE 1＋ DE 2 33＝BE ＋EF , ∴当BE 和EF 共线时,t 最小,则BE ⊥DM ,此时点E 坐标(1,－4 3)．。