第二章 《不等式》检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．设,,R a b c ∈,且a b >,则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b >D ．33a b >2、设01a b <<<，则下列不等式成立的是A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a > D ．lg 0b a -<()3、若122=+yx ,则y x +的取值范围是（ ）A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞4、设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）A ．-7B ．-4C ．1D ．25、已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 A.14 B. 18C. 4D. 86．已知向量a ＝(1，1－xx)，b ＝(x －1,1)，则|a ＋b |的最小值是( )A ．1 D ．27、已知向量，a=(),1x z -b=()2,y z +且a ⊥b ，若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为.2 C8．如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是A ．25B ．5C ．4D ．19、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为___ m .10、已知01a <<，01x y <<≤，且·，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m12．定义在,,f Mm n p ，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC 、MCA 、MAB 的面积，已知中，()23,30AB AC BAC f N ⋅=∠==若1,,2x y ⎛⎫⎪⎝⎭，则14x y的最小值是⊿B.9二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．若变量x,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x+y 的最大值为________14、已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__________.15、已知向量，其中x ，y 都是正实数，若，则y x t 2+=的最小值是_______.16、若21,x x 是函数)(2)(2R m mx x x f ∈-+=的两个零点，且21x x <，则12x x -的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分)已知a 是实数，试解关于x 的不等式：122---≥x ax x x18、(本小题满分10分)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆.则租金最少为多少元？19．(本小题满分12分)某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v匀速航行.(1)求k 的值;ba ?? ? ? ?1 , ,2 , y b x a ? ? ?(2)求该轮船航行100海里的总费用W (燃料费+航行运作费用)的最小值.20．(本小题满分12分)记c bx ax x f +-=2)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式)2()8|(|2t f t f +<+.21．(本小题满分12分) 、已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q（1）若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。

（2）若方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围。

22．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围；(2)当x ∈(0,1]时，y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，且0≤θ≤π4，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1、【答案】D【解析】A ：由于c 的正负号不确定，若c 为零或负数，不成立，则错误；B ：若0=a ，无意义，错误；C ：1-=a ，1=b 就不满足，错误；答案只能为D.另外从函数的单调性的角度亦可快速判断，A 容易排除，BCD 四个选项分别代表了反比例函数，二次函数，三次函数，只有三次函数y=x 3定义域为R 且在R 上单调递增.2、D3、【答案】D【解析】因为yxyx222221⋅≥+=，即222-+≤yx ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号．4、【答案】A【解析】由2z y x =-得2y x z =+.2x z +，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z 最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.5、【答案】B【解析】因为21x y +=≥18xy ≤，当且仅当122x y ==，即11,42x y ==取等号，所以选B.6、答案 B解析 a ＋b ＝(x ，1x)，|a ＋b |＝x 2＋1x 2≥2；|a ＋b |min ＝ 2.7、【答案】C【解析】因为a ⊥b ，所以a b ⋅，即2()0x z y z -++=，得2z x y =+，即2y x z =-+，做出可行域，作直线2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点F 时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大.由325y x x y =⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)F ,代入2z x y =+得3z =，所以z 的最大值为3，选C.8、【答案】B【解析】在直角坐标系中画出不等式组1,10,220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≤≤ 所表示的平面区域如图所示的阴影部分，x 2+y 2的最小值即表示阴影部分（包含边界）中的点到原点的距离的平方的最小值方，由图可知直线x ?y +1=0与直线x =1的交点(1，2)到原点最近，故x 2+y 2的最小值为12+22=5. 选B.9、【答案】20【解析】设矩形高为y, 由三角形相似得:40,40,0,0,404040<<>>-=y x y x y x 且 .10、A11、答案 C解析 令一直角边长为a ，则另一直角边长为2a，斜边长为a 2＋4a 2，周长l ＝a ＋2a＋a 2＋4a2≥22＋2>，当且a ＝2a 时取等号．12、【答案】D【解析】由定义可知1,,,2NBC NCA NAB S S x S y ∆∆∆===由23AB AC ⋅=，得cos3023AB AC =，即4AB AC =，所以111sin 3041222ABC S AB AC ∆==⨯⨯=，所以12x y +=，即221x y +=。

所以， 当且仅当28y x x y ，即2y x =取等号，解得11,63x y ==，所以14x y的最小值为18，选 D.400 20 ,240取最大值时，矩形的面积仅当 xy S y x xy y x ? ? ? ? ? ? ?二、填空题13、【答案】6【解析 】设z x y =+，则y x z =-+。

作出可行域如图平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点A 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大.由284x y x +=⎧⎨=⎩，得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，代入z x y =+,得426z =+=.14、【答案】36【解】x a x x f +=4)( (当且仅当xa x =4，即24x a =时取等号)，所以36342=⨯=a .15、【答案】4【解析】因为a b ⊥，所以()(),2,10a b x y ⋅=-⋅=，即2xy =.又2224t x y xy =+≥=，当且仅当x=2y=2时取等号.所以y x t 2+=的最小值是4.a x a x4 4 ?????16、【答案】22所以三、解答题17、解：原不等式可化为01x ax +≥-，即⎩⎨⎧≠≥-+10)1)((x x a x当1->a 时，原不等式的解集为，),1(],(+∞--∞ a当1-=a 时，原不等式的解集为当1-<a 时，原不等式的解集为18、解： 设A 、B 两种车辆的数量为,x y (),x y N ∈，则由题意知3660900217x y x y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，即35752170,0x y x y y x x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥≥⎩则所求的租金16002400z x y =+。

作出可行域如图，由16002400z x y =+得，232400zy x =-+，平移直线. ) , [ ) 1 , (?? ??? a} 1 | R x x x ? ? ， ｛232400z y x =-+，由图象可知当直线232400z y x =-+经过点C 时，232400zy x =-+的截距最小，此时z 最小。

由35757x y y x +=⎧⎨-=⎩，解得512x y =⎧⎨=⎩，即(5,12)C ,代入16002400z x y =+得1600524001236800z =⨯+⨯=，即租金最少为36800元.19、解:(1)由题意得每小时的燃料费21W kv =,把v =10,196W =代入得k =(2)21001001500.96W v v v⨯=⋅+,=15000962400v v+≥=,其中等号当且仅当1500096v v=时成立,解得12.515v ==<,所以,该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400 (元)20、解析 由题意知()()()()21321f x a x x a x ⎡⎤=--=--⎣⎦且0<a 故二次函数在区间),2[+∞上是减函数.又因为，故由二次函数的单调性知不等式)2()8|(|2t f t f +<+等价于22||8t t +>+即260t t --<故3||<t 即不等的解为：33<<-t .2 2 , 8 | | 82 ? ? ε ? t t21、解：（1）若φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解x x a 222+->∴ 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u所以a>-4,即a 的取值范围是{}4->a a（2）方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解， 则0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解.2121122222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴x x x a ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,23a 时，()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解22、解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，要使f (x )在(0,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(0,2)上恒成立，∵f ′(x )是开口向下的抛物线，∴⎩⎨⎧f ′?0?≥0f ′?2?＝－12＋4a ≥0，∴a ≥3.(2)∵0≤θ≤π4，∴tan θ＝－3x 2＋2ax ∈[0,1]．据题意0≤－3x 2＋2ax ≤1在[0,1]上恒成立，由－3x 2＋2ax ≥0，得a ≥32x ，a ≥32，由－3x2＋2ax≤1，得a≤32x＋1 2x.又32x＋12x≥3(当且仅当x＝33时取“＝”)，∴a≤ 3.综上，a的取值范围是32≤a≤ 3.。