第三阶段 建立新的稳态阶段， 理论上需要无限长
t
H
1
时间
物体各处的温度达
t
0
G
F A B E C D
到新的稳态
两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 三个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 不规则情况阶段段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热。
非稳态导热过程中在热量传递方向上不
同位臵处的导热量是不同的；
不同位臵间导热量的差别用于（或来自）
该两个位臵间内能随时间的变化，这是 区别与稳态导热的一个特点。
对非稳态导热一般不能用热阻的方法来
作问题的定量分析。
3 温度分布
h Bi 1h
（3） / 与 1/ h 的数值比较接近
平板中不同时刻的温度分布
介于上述两种极端情况之间。 两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化 具有重要影响。 引入表征这两个热阻比值的无 量纲数毕渥数。 Bi h
1h

近似分析法
a
L2
exp Bi Fo 0
0
exp Bi Fo 0
Bi Fo
应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数
1、导热量计算

hA Vc 0
Q Φ ( )d (t0 t ) hAe
0
d
＝(t0 t ) cV （ 1 e

hA Vc
） J
当物体被加热时(t<t)，计算式相同。
2、时间常数 方程中指数的量纲：
t t e 0 t0 t
hA Vc
没有考虑两端
M 1 1 M 2 1 M 3
V A A A V R 2 L R A 2RL 2 4 3 R V 3 R A 4R 2 3
Biv Bi Bi Biv 2 Bi Biv 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将 修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻 无量纲 时间

Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点的温度就越接近周围介质的温度。
Fo物理意义：表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。
3.2.3 集总参数系统的适用范围
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
方程式改写为：
d
hA d Vc
d
hA d Vc
积分
hA 0 d Vc

0
d

hA ln 0 Vc
第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
t ( ) w h(tw t f ) n
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中 的温度变化特征与边界条件参数的关系。 已知：平板厚2、初温t0、表面传热系数h、平板导 热系数，将其突然臵于温度为t∞的流体中冷却。
平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
3.2
零维问题的分析法－集总参数法
定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均 匀一致的分析方法。

Bi
h 1h
此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有关，
即
t f ( ) ，与空间位臵无关。
因此，也称为零维问题。
工程上把Bi﹤0.1作为该情况的判据
集总参数法的简化分析
h 如果物体的导热系数很大， Bi 1h 或几何尺寸很小，
hA
Vc

Vc
hA
时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出
来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有
关，还与环境的换热情况相关。
同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体
在不同的环境下时间常数也是不相同。
如果导热体的热容量（ cV ）小、换热条件好 （hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热 体的温度变化快，时间常数 ( Vc / hA) 小

2
t t e 0 t0 t

hA Vc
其中的指数：
hA hV A 2 cV A V c h(V A) a Bi Fo 2 (V A)
Bi Fo hL
过余温度 比 傅立叶数
温度呈指数 分布
V 特征长度 lc A
普拉斯变换
近似分析法：
集总参数法、积分法
数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有
限元法、分子动力学模拟
无量纲特征数（准则数） -毕渥数
hl lh / 物体内部导热热阻 Bi 1）定义： Bi 1/ h 物体表面换热热阻 1h
V
2）Bi 物理意义： 物体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的对流换热热阻之比。 Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场 的分布规律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
瞬时热流量
hA hA cV dt ( ) cV cV t0 t e
t t e 0 t0 t
d


hA Vc
cV
hA t0 t hAe cV
导热体在时间

0－ 内传给流体的总热量：
W 2 m 2 hA W 1 m K Vc J s kg J 3 3 Kkg [m ] m
1 即与 的量纲相同
hA 若 =1 hA Vc
Vc
e 1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余 hA Vc 温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称 为时间常数，也称弛豫时间，用 c 表示。
t ( x, y, z,0) f ( x, y, z)
简单特例 f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
t ( ) w h(tw t f ) n
学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
h Bi 1h
（1） 1/ h /
表面对流换热热阻几乎 可以忽略，因而过程一开 始平板的表面温度就被冷 却到t∞ 随着时间的推移，整体 地下降，逐渐趋近于一致
1/ h
t
Bi
1 h
（2） / 1/ h
平板内部导热热阻 / 几乎可以忽略，因而任一 时刻平板中各点的温度接 近均匀， 随着时间的推移，整体 地下降，逐渐趋近于t∞


自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f()
冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；


锅炉、内燃机等装臵起动、停机、变工况；
自然环境温度；

供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
2
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随 时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， 在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介 质温度，最终达到热平衡。
Bi
hl

0.1
特征长度
特征长度的取值
l , 厚度为2的平板 l R, 圆柱 l R，球
工程计算中，物体中各点过余温度的差别小于5%
h( V A )
Biv

0.1M
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的
无限大平板 对半径为R的无 限长圆柱 对半径为R的 球
h, t
数学模型建立
利用两种方法

根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒
热平衡关系：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通
过表面与外界交换的热流量φ 。
方法一
导热微分方程：
qv t 2 a t＋ c
物体内部导热热阻很小，忽略不计。 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是 τ的一元函数，与坐标x、y、z无关，即: 2t 2t 2t 2 2 2 0 x y z
A
qv t 2 a t＋ c
dt qv d c
ΔΕ
ρ , c, V, t0
φ
qv可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界 （零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：
h, t
qvV Aht t
物体被冷却，φ应为负值
dt cV Ah(t t ) d

必须用无穷级数描述。
第二阶段
正常情况阶段(右侧参与换热 ) 当右侧面参与换热以后，物
体中温度分布不受初始温度的
影响，主要取决于边界条件及 物性，此时非稳态导热过程进 入到正规状况阶段。 环境的热影响已经扩展到整
t
0
t
H
1
G
F A B E C D
个物体内部，即物体（或系统
）不再受到初始温度分布影响 的阶段。可以用初等函数描述


或表面换热系数极低， 其导热问题都可能属于这一类型的非稳态导