第三章 条件概率与条件期望
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例3.2
• 有n个零件，零件i在雨天运转的概率为pi， 在非雨天运转的概率为qi，i=1,2，……,n。 明天下雨的概率为。计算在明天下雨时， 运转的零件数的条件期望。
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例3.6（几何分布的均值）
• 连续抛掷一枚正面出现的概率为p的硬 币直至出现正面为止，问需要抛掷的 次数的期望是多少？
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例3.7
• 某矿工身陷在有三个门的矿井之中，经 第1个门的通道行进2小时后，他将到达 安全地。经第二个门的通道前进3小时 后，他将回到原地。经过第三个门的通 道前进5小时后，他还是回到原地。假 定这个矿工每次都等可能地选取任意一 个门，问直到他到达安全地所需时间的 期望是多少？
• 连续地做每次成功率为p的独立试验。N 是首次成功时的试验次数，求Var（N）
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三、通过取条件期望计算概率
• E是一个事件，定义示性随机变量X为：
1，若E发生 X 0，若E不发生 由X的定义推出： E[X]=P(E) E[X|Y=y]=P(E|Y=y)
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第二节
连续随机变量的条件概率与条件期望
• X和Y是连续随机变量，联合密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y时X的条件概率密度函数 定义为：
f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y )
• 给定Y=y时X的条件期望定义为：
E[ X | Y y] xf X |Y ( x | y)dx
E[ X ] E[ E[ X | Y ]]
注意： E[X|Y]本身是一个随机变量，是随机变量Y的 函数，在Y=y处取值是E[X|Y=y]
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例3.5
• 假设我们正在读一本概率书和一本历史 书，在读的一章概率书中的印刷错误数 服从均值为2的泊松分布，在读的一章 历史书中的印刷错误数服从均值为5的 泊松分布，假定我们等可能地选取概率 书或历史书，那么遇到的印刷错误数的 期望是多少？
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第一节 离散随机变量的条件概率与条件期望 • 如果X和Y是离散随机变量，在Y=y给定的 条件下，X的条件概率密度函数定义为：
P{ X x, Y y} p( x, y) p X |Y ( x | y ) P{ X x | Y y} P{Y y} pY ( y)
第三章 条件概率与条件期望
为什么要研究条件概率与期望
• 在解决现实问题时，常常需要计算在 部分信息已知时的概率和期望 • 条件概率和条件期望本身是计算概率 和期望的有效方法
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本章主要内容
• 离散随机变量的条件概率与条件期望 • 连续随机变量的条件概率与条件期望 • 条件概率与条件期望的作用
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二、通过取条件期望计算方差
• 方差的计算公式为：
Var ( X ) E[ X 2 ] ( E[ X ]) 2
用取条件期望分别计算两个期望值
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例3.8
四、其他应用
例3.10（列表模型） • 考虑n个元素e1,…，en，是一个有序的 列表，在每个单位时间对于其中的一个 元素ei有需求的概率Pi独立于过去的情 形。在这个元素被需求后，它就移至列 表的第一个位置。此过程经长时间运作 后，确定被需求元素位置的期望。
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例3.4
• X和Y的联合密度为
1 xy ye ,0 x ,0 y 2 f ( x, y ) 2 0, 其他
求 E[e
x/2
| Y 1]
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第三节
条件概率与条件期望的应用
一、通过取条件期望计算期望 • 对于任何的随机变量X和Y，条件期望的重 要性质：
x x
• 特别地，如果X和Y独立，那么，前面所有 的定义和无条件时的一样。
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例3.1
• 假定X和Y的联合概率密度函数p(x,y)为： p(1,1)=0.5, p(1,2)=0.1, p(2,1)=0.1, p(2,2)=0.3 计算在Y=1给定的条件下X的条件概率密度函 数。
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由此可以推出：
P( E | Y y ) P(Y y )，若Y是离散的 y P( E ) P（E | Y y）fY ( y )dy, 若Y是连续的 -
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• 在Y=y给定的条件下，X的条件分布密度函 数定义为：
FX |Y ( x | y) P{ X x | Y y} p X |Y (a | y)
a x
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• 在Y=y的条件下，X的条件期望定义为：
E[ X | Y y] xP{ X x | Y y} xp X |Y ( x | y)
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例3.3
• 假定X和Y有联合密度
6 xy (2 x y),0 x 1,0 y 1 f ( x, y ) 0, 其他
对于0<y<1，计算给定Y=y时X的条件期望。
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例3.9
• 保险公司假定参保人每年发生事故数是 均值依赖于参保人的泊松随机变量，假 定一个随机选取的参保人的泊松均值具 有密度函数为：
g ( ) e , 0
的伽马分布。问一个随机选取的参保人明 年恰有n次事故的概率是多少？
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