高中数学知识要点重温之数列综合篇江苏 郑邦锁1. 遇到数列前n 项和S n 与通项a n 的关系的咨询题应利用⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n S a n n n使用那个结论的程序是：写出S n 的表达式，再〝后退〞一步〔降标〕得S n-1的表达式，作差；得a n 的表达式。

注意：n ≥2的要求切不可疏忽！假设S n 的表达式无法写出，亦可将a n 表示成S n -S n-1，得到一个关于S n 的递推关系后，进一步求解。

[举例1] 数列{}n a 的前n 项和n S =a n +b,(a ≠0, 且a ≠1),那么数列{}n a 成等比数列的充要条件是__________解析：降标得：1-n S =a n-1+b, (n ≥2),作差得：a n =a n- a n-1= a n-1(a-1), (n ≥2) 再〝升标〞得：a n+1= a n (a-1)；∴a a a nn =+1，(n ≥2)，∴数列{}n a 成等比数列的充要条件是： a a a =12，即⇒=+-a ba a a )1(b= –1。

[举例2]数列{}n a 中，a 1=1，S n 为数列{n a }的前n 项和，n ≥2时n a =3S n ，那么S n = 。

解析：思路一：同[举例1]得：a n –a n-1=3a n (n ≥3)⇒211-=-n n a a (n ≥3) ∴数列{}n a 从第二项开始成等比数列〔注意：不是从第三项开始〕，又a 2=3〔a 1+a 2〕得a 2=23-,∴n ≥2时n a = a 2q n-2=(23-)(21-)n-2(那个地点极容易出错)，即n a =⎪⎩⎪⎨⎧≥--=-)2(,)21)(23()1(,12n n n ∴S n =31n a =⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(,)21()1(,11n n n ，注意到n=1和n ≥2能够统一，∴S n =1)21(--n 。

〔冗长烦琐，步步荆棘！〕思路二：要求的不是n a 而是S n ，能够考虑在n a =3S n 中用S n -S n-1代换n a 〔表达的是〝消元〞的思想，思路一是加减消元，消去S n ；思路二是代入消元，消去n a 〕得：S n -S n-1=3S n ， 〔n ≥2〕，即211-=-n n S S ，〔n ≥2〕，又S 1=1，∴S n =1)21(--n 。

[巩固1]数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满足：)(,311*+∈+==N n b a b b n n n . 〔Ⅰ〕证明数列{a n }为等比数列；〔Ⅱ〕求数列{b n }的前n 项和T n 。

[巩固2]等差数列{}n a 的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分不为等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项 （1） 求数列{}n a 与}{n b 的通项公式； （2） 设数列}{n c 对任意整数n 都有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立, 求c 1+c 2+…+c 2007的值.2.形如：n n a a =+1+)(n f 的递推数列，求通项时先〝移项〞得n n a a -+1=)(n f 后，再用叠加〔消项〕法；形如：)(1n g a a nn =+的递推数列，求通项用连乘〔约项〕法；形如：a n+1= q a n +p (a 1=a ，p 、q 为常数)的递推数列求通项公式能够逐项递推出通项〔在递推的过程中把握规律〕或用待定系数法构造等比数列〔公比为q 〕；形如：11+=+n nn da a a 〔d 为常数〕的递推数列求通项，先〝取倒数〞，可得数列{na 1}是等差数列〔公差为d 〕。

[举例]①数列{a n }满足a 1=1,a n+1=a n +2n-1,那么a 10 ；解析：a n+1-a n =2n-1，分不取n=1，2，…9，叠加得：a 10-a 1=〔2+22+…+29〕-9=210-11⇒ a 10=210-10.②假设数列{a n }满足a 1=31，112---=n n n a a a 〔n ≥2〕, 那么a n = ；解析：〝取倒数〞得：1211-=-n n a a 〔n ≥2〕，记数列{n a 1+λ}为等比数列，且公比为2， 〔λ为常数〕，那么n a 1+λ=2〔11-n a +λ〕⇒λ+=-121n n a a 〔n ≥2〕，可见λ=-1，而11a -1=2∴n a 1-1=2n , n a 1=2n +1, a n =121+n 。

注：〔ⅰ〕λ有时能够看、猜、试出来，未必非要〝待定系数〞。

〔ⅱ〕数列{n a 1+λ}为等比数列，其首项是11a +λ而不是a 1，同样，通项是n a 1+λ而不是a n ，这是专门容易出错的一个地点。

〔ⅲ〕假设递推关系变为a n+1= qa n +p n,那么λ也相应变为λp n，其他做法不变。

③数列{a n }满足：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =a n+1且a 2=2， 那么a n 。

解析：〝降标〞得a 1+2a 2+3a 3+…+〔n-1〕a n-1=a n ，〔n ≥2〕 作差得(n+1)a n =a n+1〔n ≥2〕⇒11+=+n a a nn 〔n ≥2〕分不取n=2，3，…，n-1, 连乘得： n a a n ⨯⨯⨯= 432，又a 2=2得a n =n! 〔n ≥2〕而a 1=a 2,∴a n =⎩⎨⎧≥=)2(,!)1(,2n n n 。

[提高]某顾客购买一件售价为1万元的商品，拟采纳分期付款的方式在一年内分12次等额付清，即在购买后1个月第一次付款，以后每月付款一次，假设商场按0.8%的月利率受取利息(计复利),那么该顾客每月付款的数额为______3. 应把握数列求和的常用方法：应用公式〔必须要记住几个常见数列的前n 项和〕、折项分组〔几个数列的和、差〕、裂项相消〔〝裂〞成某个数列的相邻两项差后叠加〕、错位相减R n =1×22+2×23+3×24+…+ n ×12+n -〕2R n = 1×23+2×24+…+〔n-1〕×12+n + n ×22+n - R n =1×22+1×23+1×24+…+ 1×12+n - n ×22+n 〔适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列〕、倒序相加等，要依照不同数列的特点合理选择求和方法〔其中最重要、最常见的是裂项〕。

[举例]①数列{}n a 中，假设1,111+==+n nn a a a a ，数列}{n b 满足1+=n n n a a b ，那么数列}{n b 的前n 项和为 。

解析：求n a 的过程请读者自己完成。

na n 1=⇒n b =111)1(1+-=+n n n n ， ∴数列}{n b 的前n 项和为：1+n n。

一样地：通项为分式的数列求和多用〝裂项〞，〝裂项〞是〝通分〞的逆运算，能够先〝裂开〞再回头通分〝凑〞系数。

②n a =n2，S n 为数列{n a }的前n 项和，n b =nS n ，求数列{n b }的前n 项和T n ； 解析：S n =12+n -2⇒n b =n ×12+n -2n, T n =1×22+2×23+3×24+…+ n ×12+n -2〔1+2+3+…+n 〕(视数列{n b }的前n 项和为两个数列的前n 项和的差，此即〝分组求和〞)记： R n =1×22+2×23+3×24+…+ n ×12+n ，求R n 用〝错位相减〞法：- R n =2n+2-4-n ×2n+2=-(n-1) 2n+2-4,∴R n =(n-1) 2n+2+4⇒ T n =(n-1) 2n+2+4-n(n+1)。

注：〝错位相减〞法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用。

〝相减〞后的n+1项中，〝掐头去尾〞中间的n-1项成等比数列。

③nn n n n n n nC C n C C C +-++++-1321)1(32 =解析：S=n n n n n n n nC C n C C C +-++++-1321)1(32 =12102)1(--+++-+n n n n n n C C C n nC 用〝倒序相加〞：得2S=n n n n n n n nC nC nC nC nC +++++-1210 =n2n, ∴S=n2n-1。

[巩固]设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项之和为n S ，331S 与441S 的等比中项为551S ，且331S 与441S 的等差中项为1。

(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)假设数列{}n b 的前项之和为n T ，其中11+=n n n a a b ，咨询是否存在实数M ，使得M T n ≤对任意正整数n 都成立？假设存在，试求出实数M 的范畴；假设不存在，试讲明理由。

4.与数列相关的不等式咨询题多用〝放缩法〞或数列的单调性解决。

[举例1]在数列{}n a 中，21=a ，121+=+n nn a a a ， 〔Ⅰ〕证明数列{na 1-1}是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕求证：3)1(1<-∑=ii ni aa解析：〔Ⅰ〕留给读者自己完成〔参看第2条[举例]②〕，122-=n nn a ；〔Ⅱ〕121121)12)(12(2)22)(12(2)12(2)1(1112---=--=--<-=----i i i i i i i i i i i i a a 〔i ≥2〕 ∴)1(1-∑=i i n i a a =2+)1(2-∑=i i ni a a <2+1-121-n<3. [巩固] 在数列{}n a 的前n 和为S n ,且对一切正整数n 都有S n =n 2+21a n , 〔Ⅰ〕求证：a n+1+ a n =4n+2; 〔Ⅱ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅲ〕是否存在实数a ，使不等式12232)11()11)(11(221+-<---n a a a a a n 对一切正整数n 都成立？假设存在，求出a 的取值范畴；假设不存在，请讲明理由。

5．在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好研究对象，即选择好以〝哪一个量〞作为数列的〝项〞，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的咨询题可直截了当查找〝项〞与〝项数〞的关系，对较复杂的咨询题可先研究前后项之间的关系〔即数列的递推关系〕，然后再求通项。