第五讲巧求周长和面积编写说明“巧求周长和面积”的相关内容我们在寒假小4第四讲给予过一定的讲解. 本讲我们主要在原有知识的基础上进行提高巩固，同时加入一些新的知识，帮助我们更好的过渡到五年级几何部分的学习. 对于一些非常典型的例题，我们采用“重复加强”的学习方法，帮助孩子们牢固掌握. 奥数的题目虽然很多，但一些经典题目，常常会以原题形式出现在各个中学入学测试题中，希望我们的孩子能戒骄戒躁，温故而后知新，清晰彻底的掌握理解自己学习过题目.你还记得吗【复习1】右图中是一个方形螺线.已知两相邻平行线之间的距离均为l厘米，求螺线的总长度.分析：如下图所示，将原图形转化为3个边长分别为3、5、7厘米的正方形和中间一个三边图形.所以螺线的总长度为：（3+5+7）×4+1×3=63 cm .【复习2】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示。
如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？分析：我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的（101+1）÷2=51块黑瓷砖，通过向上或向右平移处理，移到两条边上（如图2）。
在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形。
（101＋1）÷2=51（大正方形的边长），51－1=50（白色瓷砖组成正方形的边长），50×50=2500（块），所以白色瓷砖共用了2500块。
【复习3】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照右图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？分析：每多盖一张，遮住的面积增加2×1，所以这10张纸片所盖住的桌面的面积是3×2+2×1×9=24cm2.【复习4】有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合（如右图），已知露在外面部分中，红色面积是20，黄色面积是12，绿色面积是8，那么正方形盒的底面积是多少？分析：黄色纸片露出部分与绿色纸片露出部分面积不同，把黄色纸片向左移动，在这个移动过程中，黄色纸片露出部分减少的面积等于绿色纸片纸片露出部分增加的面积，它们露出的面积和不变，所以图2中黄色露出部分面积为10，绿色面积也为10。
红、黄、绿三个长方形的面积已经求出，因为长方形中对角的面积乘积相等，故有：黄×绿=红×白。
空白长方形的面积应为10×10÷20=5，纸盒的底面积为20+10+10+5=45。
解答此题的关键是让黄色正方形纸片移动，使复杂的图形变为基本图形。
巧求周长【例1】（希望杯1试）如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。
这9个小长方形的周长之和是多少厘米？分析：从总体考虑，在求这9个小长方形的周长之和时，AB、BC、CD、AD这四条边被用了1次，其余四条线被用了2次，所以9个小长方形的周长之和是：4×6+4×2×6=72（厘米）.【巩固】计算右面图形的周长(单位：厘米).分析：要求这个图形的周长，似乎不可能，因为缺少条件.但是，我们仔细观察这个图形，发现它的每一个角都是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行移动到虚线处(见右下图)，这样正好移补成一个长方形。
求长方形的周长就易如反掌了.图形的周长是：(10+15)×2=50(厘米) .这个思路熟悉以后，我们要学会从总体考虑.【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙 .甲的边长为4厘米，乙的边长是甲边长的1.5倍，丙的边长是乙边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？分析：乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的部分“掰过来”），同理丙的周长也就是正方形ABCD 的周长，那么AE=1.5×4=6 ，AD=1.5×6=9，丙的周长为36厘米，EF =AE-AF=6-4=2（厘米）.【例3】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长．分析：【前铺】右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120cm 2，求原长方形的长与宽。
分析：设小正方形边长为a ，那么大正方形的边长为1.5a ，所以长方形的长、宽分别为3a 、2.5a ，7.5×a ×a=120=7.5×16 ，所以a=4，原长方形的长和宽分别为：12、10厘米.巧求面积 【例4】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米?45459542555554225542.522252.5422.5229÷⨯⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯从图上可以知道，小长方形的宽是长的。
根据题意，每个小长方形的面积是=（平方厘米），长长，长长=所以 长=（厘米），宽=（厘米）于是这个大长方形的周长是（++）=（厘米）分析：从图形我们可以看出，A1B的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以A1B和BC1为边能构成大正方形A1BC1E1(如下图b所示)，其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形A1BC1E1的边长为15厘米，面积为：225平方厘米，正方形CDD1C1与正方形ADEA1的面积之和为：290÷2=145(平方厘米)．长方形ABCD与长方形EDD1E1的面积相等．所以，长方形ABCD的面积为：(225—145)÷2=40(平方厘米)．【前铺】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米(如图虚线所示)，则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米?分析：小正方形的面积为：30×30=900平方米．用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积，为：9900—900=9000平方米．而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积等于9 000÷2=4500平方米．长方形的宽为30米，那么长为：4500÷30=150（米），150×150=22500（平方米）.【巩固】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别44cm2与28cm2，原正方形纸片面积是多少平方厘米？分析：做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为44－28=16，a=4,b=28÷4=7，原正方形面积=7×7=49（平方厘米）.【例5】把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的六个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形．如果所作的最小的小正三角形的面积为l平方厘米，求如图中整个图形的面积．分析：题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a)，由已知，图中最小的小正三角形的面积是l平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a进行分割，得到图b．从图b可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形．由此可以求出，一个大正三角形中包含9×9：81个小正三角形，在图a中，除了一个大三角形之外，还有三个中三角形和12个小正三角形，所以整个圆形中共含有小三角形的个数为：9×9+3×9+12=120(个)，而每一个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a中图形的面积为120平方厘米．【前铺】右图中 A，B两点分别是长方形的长和宽的中点，阴影部分占长方形面积的几分之几？分析：3/8 ，采用分割的思想去做，分割如右下图所示.【前铺】正三角形ABC的面积是1m2，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形（如右图），求六边形的面积.分析：采用分割法，右下图中所有小三角形的面积都相同，所以面积=13.【例6】如图，正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积.分析：利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，每个小正方形面积是5，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。
【例7】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？分析：根据已知条件，我们将两个正方形试验田的一个顶点对齐，画出示意图(如图a)，将大正方形在小正方形外的部分分割成两个直角梯形，再拼成一个长方形(如图b)．由于两个正方形的周长相差40米，从而它们的每边相差40÷4=10米，即图b中的长方形的宽是10米．又因为长方形的面积是两个正方形的面积之差，即为220平方米，从而长方形的长为：220÷10=22(米)．由图可知，长方形的长是大正方形与小正方形的边长之和，长方形的宽为大正方形与小正方形的边长之差，从而小正方形的边长为：(22—10)÷2=6(米)．所以小正方形的面积为：6×6=36(平方米)．解本题的常规思路是先求出小正方形试验田的边长，再在利用面积公式求出小正方形试验田的面积．可是直接从题目已知出发求小正方形试验田的边长不太容易，于是我们想到用割补的方法利用图像来比较直观地解决这个问题．综合应用【例8】（迎春杯初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形。
已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和.分析：大正方形面积等于四边形ABCD面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即20+32÷2=36（厘米2）。
推知大正方形边长为6厘米，也就是小长方形的长加宽为6厘米，所以一个小长方形的周长为12厘米，甲、乙、丙、丁周长的总和等于48厘米.【例9】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少?分析：我们先按题目中的条件画出示意图(如图a)，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为5平方米，它的长和宽相差0.5米，为了解题方便，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图b)．图b是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，等于0.5米．这样中间的小正方形的面积等于0．5×0．5=0．25平方米，那么大正方形的面积等于5×4+0.25=20.25平方米．因为4.5×4.5=20.25，所以大正方形的边长等于4.5米．这样我们便知道了剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，运用(和+差)÷2=大数，(和一差)÷2：小数这两个公式中的一个，就可以求出剩下的长方形的长为：(4.5+0.5)÷2=2.5(米)，即原正方形的边长为2.5米. 又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为：2.5×O.5=1.25(平方米)．【例10】（06年希望杯2试）如右图，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是多少？分析：如果标号为5的正方形的边长是a，那么1号比2号大a，2号比3号大a，所以1号比3号大2a，又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3号大18-14＝4，即2a＝4，a＝2，标号为5的正方形的面积是4 .【例11】如右图的长方形纸片，假如按图中虚线剪成4块，这4块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形的周长是多少厘米? (单位：厘米)分析：根据形变其面积不变的原理，所拼成的正方形面积是：9×(12+4)=144(平方厘米)，由正方形面积计算公式可知正方形的边长是12厘米，即144=12×12，所以，所拼成的正方形的周长是：12×4=48(厘米).【例12】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米?分析：通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相等，即CB相等，不妨假设CB=2厘米，可以算得：AC=8厘米，CD=10厘米．于是可以算得：GC=36÷8=4．5(厘米)，BE=30÷10=3(厘米)，EF=12÷8=1.5(厘米)．于是大长方形的长=10+8=18(厘米)．宽=4.5+2+3+1.5=1l(厘米)．因此大长方形的面积=11×l8=198(平方厘米)．附加题目【附1】（希望杯1试）如右图，六个相同的长方形围成了大小两个正方形，已知小正方形的面积是36平方厘米，则每个小长方形的面积是多少平方厘米？分析：小正方形的面积为36平方厘米，则边长为6厘米，所以小长方形的长为6厘米，2个宽+长=2个长，所以小长方形的宽等于3厘米，每个小长方形的面积为18平方厘米.图4【附2】图1、图2都是由完全相同的正方形拼成的，并且图1的周长是22厘米，那么图2的周长是多少厘米？分析：图1的周长是小正方形边长的12倍。