位移： x( t ) A cos( t ) 速度： ( t ) A sin( t ) 加速度： a( t ) x( t )
2
简谐运动的两个定义 相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。
引子：伽利略对木星卫星的观测
1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星 的4颗主要卫星。经观察，发现木卫四似乎在 做相对于木星圆盘中点往复运动。 纵坐标是 木卫四与 木星的夹 角， 横坐标是 相应的观 测时间。
加速度与位移成正比而反向
2A A
A
-A - A - 2A
o
x
x
x、 、a x T t <0 >0 减速 >0 >0 加速
o

a < 0 a<0 加速
>0 <0 减速
x(t)=Acos( t+) 三. 描述简谐运动的特征量 1.振幅A(amplitude) 偏离平衡位置的最大距离 其值与运动如何开始有关 2.周期T (period) 频率v (frequency) x(t)=x(t+T ) 振动往复一次所需时间 单位时间内的振动次数
3.固有角频率 ω 2 和F kx，比较可得 由F ma m x，

k m
k为劲度系数
固有角频率决定于振动系统的内在性质。
3.固有角频率 ω
弹簧振子：
k m
x(t)=Acos( t+) k为劲度系数
固有角频率决定于振动系统的内在性质。 振动系统都有，某种“弹性”要素----(k) 和“惯性”要素---(m) 4. 由初始条件求振幅 A 和 初相 初始条件：t =0 时的 位移 x0 =Acos 速度 v0 = -ω Asin
反映t时刻系统的运动状态(x、) 。 若相位为0，则反映x=A, = 0； 若相位为π/3，则x=A/2 , =-√3/2A; 若相位为π/2，则x=0, = -A; ……相位为2 π ，物体回到x=A位置。 相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。 振动的时间周期性可以用相位来表示。 时间上变化一个周期， ω =2π/T (rad/s) 相当于相位变化2π。
2 2 0 A x0 2 0 1 tg ( ) x0
作业：
习题：1.1、1.3、1.5、1.7
t 1s
A
t0

O
x

二.相位差 (phase difference) x(t)=Acos( t+) 1.相位差------ 两个相位不同的简谐运动，称之有相位差。 两同频率的简谐振动， x1 =A1cos( t+1) 和 x2=A2cos( t+2) = (t +2) - (t +1) = 2 - 1 相位差等于初相差； 也可以说一个对另一个有相移。 2.同相和反相 • 当 = 2k，( k= 0，1，2，…)， 两振动步调相同，称同相。 • 当 = (2k+1)，( k= 0，1， 2，…)， 两振动步调相反，称反相。
2.同相和反相 • 当 = 2k，( k= 0，1，2，…)， 两振动步调相同，称同相。 • 当 = (2k+1)，( k= 0，1， 2，…)， 两振动步调相反，称反相。
x
A1
x
x1 x2
同相 T t
A1 A2
x1
反相
A2
o - A2
-A1
o - A2
-A1
T t
x2
3.超前和落后 若 = 2-1>0，则x2比x1较早达到正极大， 称x2比x1超前(或x1比x2落后)。
= 1/T (Hz)
Acos( t+) = Acos[(t+T ) +] = Acos(t + +2π)
=2π/ T (rad/s)
----- 角频率ω
单位时间内变化的弧度数
表征简谐运动的周期性。
3.相位(phase) (1) ( t +)是 t 时刻的相位
周期内一一对应
位移：x(t ) A cos(t ) 速度： (t ) A sin(t ) 加速度：a (t ) 2 x(t )
周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。 以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。 如，地球自转、公转。 以固定的空间段重复称它具有空间周期性。 如，整齐排列的路灯，晶体中的晶格等。 广义振动：指系统状态的时间(准)周期性。 振动的主要形式： 机械振动：物体在一定位置附近的往复运动。 树枝、小船、琴弦、鼓膜、声带、耳膜、 空气分子、固体原子等的振动。 电磁振动：电磁量在定值附近周期性往复变化。 电流、电压、电量、电能、磁能等周期性变化。 如何研究振动呢？
x
A1 A2
x(t)=Acos( t+)
x1
T
思考：在图中，x1与 x2两振动谁超前？
t
o - A2
-A1
x2
超前、落后以< 的相位角来判断。
1

2
,2 0
2-1>0 ，x2比x1超前 π/2
3 1 , 2 0 2
1-2>0 ，x1比x2超前 3π/2
位移： x( t ) A cos( t ) 速度： ( t ) A sin( t ) 加速度： a( t ) x( t )
3.相位(phase) (1) ( t +)是 t 时刻的相位
周期内一一对应
位移：x(t ) A cos(t ) 速度： (t ) A sin(t ) 加速度：a (t ) 2 x(t )
反映t时刻系统的运动状态(x、) 。 相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。 振动的时间周期性可以用相位来表示。
两同频率简谐运动的相差： = 初相差； = 2k，同相； = (2k+1)，反相。
描述简谐运动的三种方法： 解析表示法；图线表示法；旋转矢量法。
引子：简谐运动的运动学与动力学
前两节讨论了简谐运动的运动学， 即，如何描述简谐运动； 下面，我们将探讨简谐运动的起因， 牛顿第二定律告诉我们， 力是运动状态改变的原因， 因此，我们将讨论简谐运动的动力学。
§1.3 简谐运动的动力学方程
1.受力特点
a(t ) x(t )
2
x( t ) A cos( t ) a( t ) 2 x( t ) F kx
运动
2
简谐运动 力和位移成正比而反向，称恢复力。另一定义 2.动力学方程
F o
F ma m x kx
x = A cos( t + )
简谐运动 是匀速圆周运动在所沿圆的直径上的投影。 相的几何意义： 振动的相( t +)，是旋转矢量的角位置。
[例题]已知简谐运动，A= 4 cm， = 0.5 Hz， t =1s时x = -2cm且向x正向运动， 写出振动表达式。
解：简谐运动的基本表达式： x(t)=Acos( t+) 由题意，T = 1/v=2 s ω=2π/ T = π 由图， = /3， x = 4cos(t + /3 ) cm
特点： (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
轻质弹簧 物块刚性 无阻力
x
m
A o
x
o
x
T
t
以水平弹簧振子为例 振子：可以发生振动的系统。
-A
图线表示法
二. 速度和加速度
x(t)=Acos( t+)
dx( t ) (t ) A si n ( t ) A cos( t ) dt 2 2 d x( t ) 2 2 a( t ) A cos( t ) x( t ) 2 m dt
时间上变化一个周期， 相当于相位变化2π。 (2) 是t =0时刻的相位 — 初相(initial phase) 即，选定的初始时刻所处的阶段， 反映初始时刻的运动状态(x0、0) 。
ω =2π/T (rad/s)
小结： 描述简谐运动的三个特征量：
A，ω ，
= 1/T (Hz)
ω =2πv =2π/T (rad/s)
引子：伽利略对木星卫星的观测
1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星 的4颗主要卫星。经观察，发现木卫四似乎在 做相对于木星圆盘中点往复运动。 根据他精确的记录，发现最佳拟合曲线是余弦 曲线，这强烈地暗示了简谐运动。 难道木卫四是在做简谐运动？ 木卫四以基本恒定的速度在做近似的圆周运动。 结论：所观察到的简谐运动是 匀速圆周运动在运动平面内一条直线上的投影。
x
引 子 ： 振 动 的 合 成 和 分 解
0
t
x0
0 t
方 波 的 分 解
x1 0 x3 0 x5 t t
0 x1+x3+x5+x0
0
t
t
任 何 复 杂 振 动 都 是 简 单 运 动 的 合 成 ︒
§1.1 简谐运动的描述
一.简谐运动（Simple Harmonic Motion ） 物体在运动中，对于平衡位置的位移 x 按余弦规律随时间 t 变化。 解析表示法 x(t)=Acos( t+)
§1.2 旋转矢量与振动的相
一. 旋转矢量法 • 矢量长度 = A • 以 为角速度绕O点逆时针旋转 • t = 0 时矢量与 x 轴的夹角为
vm
A
t=t

t=0
t+
O
an

x
旋转矢量： A x轴投影： x A cos(t )
A
x
线速度：vm A x轴投影： v vm sin( t ) 法向加速度： an 2 A x轴投影： a an cos(t )