a dv 2 A cos t 2 x dt
12
v、x 哪个超前？
x A1 A2 O - A2 -A1
x2
x
x1
同相
T t
A1 A2 O - A2 -A1
x1
反相
T t
x2
x
A1 A2
x1
O
- A2 -A1
x2
t x2超前于x1
13
3.旋转矢量表示法： 旋转矢量A 注意影子
机械振动 一、简谐振动
§1 简谐振动的动力学方程 §2 简谐振动的描述 §3 简谐振动的能量
二、简谐振动的合成
1
1. 振动：
平衡位置附近作周期性 来回往复的运动。 振动的成因是回复力。 平衡位置的回复力总为零。 振动的基本形式—简谐振动
oscillation
x
t
钟摆、活塞、波浪、 琴弦、交流电、 脑电波、生物钟
二者的相位差为：
(t 20 ) (t 10 ) 20 10
11
由 2.振动曲线： x A cos t 描点
v
x
a
t
相差？
*速度和加速度： dx v A sin t A cos t 2 dt
kx m g
kx kx kx kx
d 2 2 k k x x0 2 dt m m
得证
F mg k ( x x)
d 2x k a kx x 0 m 2 dt m
2 m T m k
k
6
4、简谐方程的、A和
1）固有圆频率取决于振子本身固有性质
A

t=5/6 ( s)
x
2 T t
2 2 5 / 6 t

x t=0( s)
t=5/6 （ s）22
§3 简谐振动的能量
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2
1 E p m 2 A2 cos2 t 2
投影到任意轴？

A
φ
x
x A cost
投影到X轴, 描述X方向的谐振动
x
Y
14 投影到Y,描述Y方向的谐振
旋转矢量与振动的对应量
Rotational vector and phase

t
A
φ
t0
相差？

x

t
对应量 旋转矢量 简谐振动 A 长度 振幅 φ 初角 t+φ 夹角 位相 x 投影 位移 15 角速度
解：
A2
A
A 1
A 22 42 2 5
o
.464 x 2 5 cos3t 026.6O

x
tg 1

26.6 0.464 180
2 4
27
小结 谐振
F kx summary2 x brief a d 2x 2x 0 2 dt x A cost
A cos t
合成后仍然是谐振。式中A和为：
24
x A cost
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A cos A cos 1 2 2 1
8
EX.待物体静止后,再向下拉 Y y0=0.1m后放手,测得T=2s。 O 求：振动方程.
解： 2 s 1 T y0 0.1 v 0 0
2 A y0
0.1m

Y
2
2 v0
y0 0.1m
v 0 舍 tg1 0 y y 0 0 0
Ⅰ.谐振特点 Ⅱ.谐振描述 x-t曲线 几何表示 旋转矢量
振动方程x =Acos( t+φ )（单位）
1 Ek E p EM kA 2 Ⅲ.机械能守恒 2 Ⅳ.同方向同频率的谐振动合成
28
1
2 1 2k 2 1 2k 1
A A1 A2
A A1 A2
25
2. 旋转矢量法：
A2
x2 2 1
A A1
x x1 x2
x
x1
x1 x
3、振动曲线法：
x2
26
t
Ex.
已知：
x1 4 cos3t
x2 2 cos 3 t 2 写合振动方程。
负号表示指向平衡位置，得证。
正
方
向
f
mg
由f=mat=ml
d 2 m l 2 m g dt d 2 g 0 dt 2 l l T 2 令2=g / l g
m cost
5
EX.证明悬挂的弹簧m,k的振 动是谐振。求出振动周期。
o
O
x
x
解：弹簧原长处为o’ 平衡位置O 任意x处
1 1 E m 2 A2 kA2 2 2
E
Ep
Ek
23
t
简谐振动的合成
同方向同频率的谐振合成
1 .运动学方程法 x1 A1 cos t 1 x2 A2 cos t 2 x x1 x2 A1 cost 1 A2 cost 2
方法一：用t=0时的旋转矢量 x(m) x(m)
0.02 0.02
t (s) 4
19
方法二：先参考标准式 x 0.02cos t m
2
再根据初相平移 x 0.02 cos( t )m 2 2 x(m) t (s)
20
21
例10-1 一质点沿x轴作简谐振动，A=0.12m T=2s，x0=0.06m,此时刻质点向x正向运动。 求:(1)振动方程 (2)t=T/4时x,v,a (3) 第一次通 过平衡位置的时刻t 和所需时间t。
解： 2
T
(3) 第一次通过平衡位置的时刻t
3
(1) x=Acos(t+φ) =0.12cos(t ) m (2) v=Acos(t +/2) m/s a=Acos(t +) m/s2 把t=T/4 代入x,v,a
振动 方程：

O
0.1m
y 0.1cos t
m
9
§2 简谐振动的描述
简谐振动 — x随t按正弦或余弦变化 三种描述方法： 1.振动方程：x A cost
单位
—圆频率—2秒内的振动数。 2 s 1 t +φ—相位—反映质点的运动状态(x,v)。 10
圆频率 初位相
思考: 在旋转矢量图上怎样表现位相 超前或落后、相差、 同相、反相？

2 1
o
x
2 1

x
2 1
o
o
16
x
例1. 按图写振动方程。x 10 cos( ห้องสมุดไป่ตู้ 2 )m 3 x(m) 10 2 t (s) -5 x(m) 10 1
x 10 cos( t 3 )m 2
2
t (s)
17
例2. 由旋转矢量图（相量图） 画振动曲线、写振动方程。
已知:旋转矢量A=0.04m, =4(rad/s)
x
0.04
x(m)
/4
o
-0.04
1 16
1 1 16 2
t (s)
18
例3. 由振动方程画振动曲线。 已知方程：x 0.02 cos( t )m 2 2
2.机械振动的研究: 运动学—位移,速度,加速度,周期,频率。 动力学—力,能量。
2
简谐振动
§1 简谐振动的动力学方程
1、简谐振动的特点
回复力 f kx 的振动。
O
x
又如：单摆、复摆； 交流电、电磁振动。
3
2、简谐振动的动力学方程
f kx
d 2x m 2 kx dt
d 2x k x0 2 dt m
2）振幅A和初相 取决于初始条件x0 , v0
已知 , x0 , v0 ，则A和可求：
x A cost v A sin t
t0
x0 A cos v0 A sin
A
x
2 0
2
2 v0
tg
v0 x0
7
结论： 一个谐振子(确定m,k)，只能 有一个固定的频率，但可以有无数的 A 和，即可做无数种振动。
k m
d 2x 2x 0 dt 2
a 2 x
令：
方程解：
固有圆频率
x A cost
4
以上4式都是判断谐振的依据。
3、证明几种常见谐振动 证明单摆的微小摆动是简谐振动； 写振动方程；求振动周期。
解：任意处 合力f= mg sin ≈ m g
相差？
x—位移—质点对于平衡位置的位移。 A—振幅—质点到平衡位置的最大位移。 1 2 φ—初相位—t=0时的位相。 T
相差——相位的差。可用于比较两个谐振动
之间在振动步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )