一拉格朗日中值定理1．定理内容拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。

拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。

在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。

拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。

发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即f(x+1)−f(x)≈01这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′x=0。

著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。

最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f x在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′x最小值为B，则f(x1)−f(x0)的值必须是A和B之间的一个x1−x0值。

下述就是拉格朗日中值定理:如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′ξ=f(b)−f(a).b−a2.定理意义拉格朗日中值定理在数学的微积分属于重要的定理，是微分中值定理中应用最为广泛的定理，在发展过程中推算出了其他的微分中值定理，在实际应用中，具有重要的使用价值。

其中，拉格朗日中值定理在几何运算中所具有的意义是：若一个连续函数y=f(x)在两点A a,f a、B(b,f(b))之间不存在垂直于x轴的切线，那么在这两点之间至少存在这一点C c,f c，这一点的切线平行于直线AB。

在运动学中所具有的意义是，在任意的一个曲线运动过程中至少存在着一个时间点的速度等于这个曲线运动的平均速度。

二拉格朗日中值定理的应用在前人对微分中值定理的研究当中，统计经历了几百年的时间，由费马提出费马定理开始，经历了从简单到复杂，从特殊情况到一般情况，从简单的概念到复杂的概念这样的发展阶段。

在微积分当中，拉格朗日中值定理是一个非常重要的基础知识。

拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。

拉格朗日中值定理在属于微积分当中的微分中值定理中有着承前启后的作用，在研究理论上拉格朗日中值定理即是罗尔定理的延伸又衔接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函数的进程中有着非常重要的作用。

在数学知识应用当中，拉格朗日中值定理是对函数研究的一个重要工具，并且有着十分广泛的应用。

这些作用主要表现在以下几种情况，比如在求导极限定理、求函数极限、证明不等式、说明函数单调性、讨论方程的根是否存在的情况和对导数估值等，它在解决数学问题时通常将问题从难化简，对解决难题起到很好的作用。

本文着重讲解的是拉格朗日中值定理各种的应用。

1.求极限例1. 求解lim x→a x a−a xa−x。

分析：我们先将此式子的分子加上一个a a，然后再减去一个a a。

如，x a −a x a −x =x a −a x −a a +a a a −x =a a −a x a −x =a a −a x a −x −a a −x aa −x此时，容易看出应该构建的函数的形式，令f t =a t ，g t =t a ，假设这两个函数都在闭区间[a,t]或者[t,a]上连续并且在相同开区间上面可导的，并且这两个函数的两个端点值都分别相等，就是满足拉格朗日中值定理的条件，这是就分别存在着两个点μ，ξ在x 和a 之间，当x →a 时，有μ→a ，ξ→a 得lim x →a x a −a x =lim x →a [a a −a x −a a −x a] =lim ξ→a a ξln a −lim μ→a aa μ−1=a a (ln a −1)例 2. 存在函数f ′′(x)是连续的并且有f ′′(a)≠0,满足下列式子f b +x =f b +xf ′ b +μx (0<μ<1)①，求x→0 时μ的极限。

解：运用拉格朗日中值定理可以由式子①可以计算出函数f ′(x)在闭区间[b,b+x]或者[b+x,b]的拉格朗日中值定理的形式f b+x −f(b)x =f ′ b +μx ,继上式可以推得f ′ b +μx =f ′ b +μxf ′′ b +μ1μx (0<μ1<1)。

将这个结果带入式子①可以计算得出f b +x =f b +xf ′′ b +μx 2f ′′ b +μx ②运用泰勒展开公式把函数f b +x 展开得以得到f b +x =f b +xf′ b +12x 2f ′′ b +μ2x ③由式子②③可以综合计算得到，μf′′ b +μμ1x =12f ′′ b +μ2x 然后求极限，所以μx →0lim =f ′′ b+μ2xμf′′ b+μμ1x =f ′′(b)2f (b)=12。

例3：求出函数极限lim x →∞x 2[Inarctan x +1 −Inarctanx]。

解：首先，我们先建立一个辅助函数f x=Inarctanx，然后再求解。

令f x=Inarctanx，此函数在闭区间[x,x+1]上面明显是满足拉格朗日中值定理的需求条件的，因此存在一点ξ在此闭区间上面。

根据拉格朗日中值定理可以得出，Inarctan x+1−Inarctanx=1∙12因为点ξ是在闭区间[x,x+1]内的一点，所以x<ξ<x+1，可以得到x22>x22>x22那么在x→∞时，ξ→∞，则limx→∞x21+x2=1，limx→∞x21+(1+x)2=limx→∞x21+x2=1，通过夹逼定理就可以知道lim x→∞x21+ξ2=1所以，根据上面的计算，原函数=limx→∞x2arctanξ∙11+ξ=limx→∞1arctanξ∙limx→∞x21+ξ=2π。

在运用拉格朗日中值定理求解极限的过程中，最主要的步骤就是找到函数f x和其定义域的取值范围此时假设为闭区间[a,b]，这个时候的拉格朗日中值定理公式就可以列为f b−f ab−a=f′ξ，这个式子的左边是这个函数在这个闭区间上面两个端点值的差与闭区间长度的比值。

因此公式在变成这种形式之后，就可以得出相应的函数与区间。

当极限形式为0的未定式，就可以想到需要构建一个中间函数，此函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后对函数采用拉格朗日中值定理的方法去解决问题。

在解决这种类型的题目要采用罗尔定理的原因，在现目前大多数微积分的相关教材中，在解决类型问题时多采用构建中间函数运用罗尔定理解决问题。

在面对一些题目时，这些函数有可能并不满足拉格朗日中值定理的条件，需要去构建一个中间函数，去满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后将构建的这一函数与原函数紧密联系起来，再将构建的函数转化为原函数，从而运用拉格朗日中值定理去解决问题。

当遇到典型的极限形式为∞∙0型，在此我们应该先应用洛必达法则去求解。

但是在计算过程中会发现，如果采用洛必达法则反而更加麻烦的时候，应该多观察题目是否可以运用拉格朗日中值定理来求解题目，简化题目，因此我们可以观察给出的式子中，然后构建出拉格朗日中值定理的基本形式，运用拉格朗日中值定理去求解这道题目。

2证明等式例 4.假设函数f x = ln 1−t t x 0dt 在区间（-1,1）有意义，证明：f x +f −x =12f x 2 。

证明：令g x =f x +f −x −12f x 2 =0，求得这个函数的导数g ′ x =f ′ x −f ′ −x −xf ′ x 2 =0我们可以根据题意求得f ′ x =ln 1−x x ，因此，g ′ x =ln 1−x +ln 1+x −ln 1−x 2 2=0 根据常数的导数为0，可以得出g x =0，因此证明了原式成立。

例5：假设函数f x =arccosx +arcsinx 在闭区间[0,1]上面是连续的，并且在开区间(0,1)上面是可导函数，证明：f x =arccosx +arcsinx =π2。

证明：由于该函数f x 闭区间[0,1]上面是连续的，并且在开区间(0,1)上是可导函数，那么在该去间内存在着一点b ，使得f ′ b =f 1 −f(0) 又 arccosx ′=− 11−x ， arcsinx ′= 11−x因此， arccosx ′+ arcsinx ′=0，得到f ′ x =0，则f x 是一个常数函数。

在零点有，f 0 =arccos0+arcsin0=π2所以，f x =arccosx +arcsinx =π2。

根据拉格朗日中值定理可以推导出一个结论，如下所示。

假设函数f x在一个固定区间内可导，设这个可导区间为A，则在点x处于区间A中，就存在着f x的导函数等于0，那么就证明f x在区间A中是一个常数。

利用拉格朗日中值定理去证明等式这是该定理十分重要的一项运用，在证明等式的过程中，用题目中给出的证明等式的式子去构建出类似于拉格朗日中值定理形式的式子。

在证明恒等式时，可以先假设这个恒等式两边的式子相减为0，构建出一个新的函数，然后根据常熟的导数为0来证明这个恒等式成立。

2.证明不等式例6.证明：2<arcsinx<x，x>0。

证明：先假设f x=arcsinx，在区间[0,x]上运用拉格朗日中值定理可以得到arcsinxx =12⇒arcsinx=x1−ξ2又因为ξ是存在于闭区间[0,x]内的，所以ξ<x。

x1−ξ2>x1−x2那么，2<arcsinx<x。

例7.证明x1−x<ln1+x<x(x>0).证明：令f a=ln(1+a)，由题意可知0<a<x，则函数f a在0<a< x这个区域内是连续并且可导的函数，根据拉格朗日中值定理运算可以得到f x−f0=f′ξx(0<ξ<x),则，可以得到ln(1+a)=x 1−ξ由于0<ξ<x，则1<1<1所以就可以得到x 1−x <ln 1+x <x (x >0)。

在求解不等式的时候，把异于其他式子的函数用拉格朗日中值定理表示出来，推算出相似的式子进行比较，然后证明原式的大小。