1+1=？
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科学一班五组
成员： 郭浩 李莎莎 刘均 许琴 王浚臣 王旭洪 昝航
刘兴隆 董大鹏
拉格朗日(拉式)中值定 理的证明方法及应用
一、定义：如果函数 f x 满足： 1、在闭区间a, b 上连续
2、在开区间a, b 内可导 则至少存在一点 a, b ，使得
f b f a f ba
二、证明方法
做辅助函数 可以利用弦倾角法做辅助函数
f ( x) F ( x) 设辅助函数 x 由于F (x) 在 [a , b] 上满足拉氏中值定理条件, 且
x f ( x) f ( x) F ( x) 2 x
即存在一个 使
f ( ) f ( ) a f (b) b f (a) f 2 ab (b
2 2 sin f b f a tan cos ba

< <


f bcos b sin f a cos a sin 那么可以令 F x f xcos x sin 则有 F a F b ∴ 由罗尔定理得：当 F a F b 时，至少存在 一个数 使 F 0 ，即 f cos sin 0 最后得出 f tan 0 ,即f f b f a
则有：
o a


b
x

ba
三、拉格朗日中值定理的应用 1、证明等式
2、证明不等式
3、研究导数和函数的性质
4、证明有关中值问题的结论
5、判定方程根的存在性和唯一性 6、利用中值定理求极限
例1：设
在
上连续, 在
内可导,
且
使 证明存在 a f (b) b f (a) f ( ) f ( ) 证明 ab (b a) 2 等式 F b F a 证:∵ 所证结论左边为
则有： x f x0 f x x0 f
f x0 f x x0
f x0 M b a
令 K f x0 M b a，则对任意 x a, b 有 f x K ，即 f x 在 a, b 内有界。
∴原式成立
例2：设函数 f x 在 a, b 内可导，且 f x M 证明 f x 在 a, b 内有界。 对 f x 在以 证：取点 x0 a, b ，再取异于x0 的点
x a, b ，
0
x ，x0 为端点的区间上用拉式中值定 理得：x f x0 f x x0 （ 界于 x 与 x之间） f