Ea z sin Kz
Eb z cos Kz
（5.1-22) （5.1-23)
由式（5.1-21)知，相应的耦合长度为
Lc 2K
（5.1-24)
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
图5.1表示两个同方向耦合模之间的功率交换。图5.1a) 为相位匹配情况( k 0 )，功率完全交换，图5.1b)为相 位失配情况( k K )，不能实现完全交换。
（5.1-11） （5.1-12)
0 2 2 K ab, ba E E n x n ay by a ,b x dx 4
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
当两个波导的尺寸、折射率等参量相同时，有 Kab Kba K Ca Cb （5.1-13) 发生耦合时，两个波导的导模之间的传播常数差为
2 2 12
K k k 2 12 2 12 2 2 Eb z Eb 0 exp iz cos K k z i sin K k z 1 2 K 2 k 2
2 2
exp iz（ 5.1-30）
式中， Kc K k ，sinh(x)、 cosh(x)称为双曲正、 余弦函数。
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
当入射波与反射波相位匹配( 0 )时，两波振幅的 表达式为
Ea z sinh K z L cosh KL Eb 0
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
在相位失配，即 k 0 条件下，由式(5.1-19)可知， 最大能量转换效率为
Pa z K2 2 2 Pbo K k
（5.1-25)
如果利用强外场造成的某种效应，使 k 足够大， 以至于在波导中原应有100%能量输出的长度处完全没 有能量输出，即波导被“截止”，从而使波导中的传 输由“开”变为“关”，这是光波导开关的一种工作 原理。
2
2 12
Lc
2 K k
2
2 12
（5.1-21)
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
当 ka kb 微小时，z =Lc处 Ea z 最大，而 Eb z 的 模值很小，即光功率由波导b几乎完全转换到波导a中， ka kb 越小，转换越完全。 当 ka kb 时，即两个波导的传播常数相同时，在 z=Lc处实现功率的完全转换。通常把条件 ka kb 称为 相位匹配条件。在相位匹配条件下，即 k 0 ，有
E y Ea z Eay x exp ika z Eb z Eby x exp ikb z
（5.1-8）
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
耦合方程为
dEa iK ab Eb exp i kb ka z iCa Ea dz


（5.1-7）
n x 是发生耦合时波导的折射率； na x 和nb x 是两 式中， Eay x 和 Eby x 是 个相互耦合的条形波导各自具有折射率； 在两个波导没有发生耦合时各自的波场。
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
1、相同方向耦合。考虑两个条形波导中的导模沿 同一个方向传播时的情况。 对于两个相互耦合的条形波导a和b，在两个波导距 离靠近出现耦合时，波场可以近似地表达为两个无 扰动时波场的和
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
5.1.2 光波导耦合的微扰理论
微扰理论的基本出发点是将耦合系统看作一个受到某 种微扰的理想波导。介质光波导中的波动方程可以写 成以下的标量形式 2 2 E r,t P r,t 2 E r,t 0 0 0 （5.1-4） 2 2 t t 在微扰作用下，波导内的介质的极化强度P发生了微 扰变动，可以表示为
2
Ey
2
t2
0
2 Pe r,t y t2
（5.1-6）
另外两个场分量Ex和Ez有类似的表达式。经分析推导 可以得到 2 2 2 2 Pe 0 Ea z Eay n x n x exp k z E z E n x n a a b by b x exp kb z
第5章 光波导耦合理论与耦合器
5.1光波导耦合的基本理论 5.2导模与辐射模的耦合 5.3 棱镜耦合器 5.4 光栅耦合器 5.5 楔形光波导耦合器 5.6 光波导耦合的其它方法
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
5.1光波导耦合的基本理论
将光从一个光学元件引入到另一个光学元件 当中的过程称为光耦合。 使一个模式的功率完全转移到同一波导的另 一模式之中或者两个波导间的能量交换。这种 现象称为光波导耦合。
（5.1-31) (5-1-32)
2
Eb z
cosh K z L cosh KL
Eb 0
由上式可见，后退波的功率 Ea z 在 z L 处为零， z渐减至 z 0 时渐增至最大值，
反之，前进波的功率(与 Eb z 成正比)在 z 0 处 最大，z渐增至 z L 时渐减到零。
（5.1-9）
（5.1-10）
dEb iKba Ea exp i ka kb z iCb Eb dz
2 0 2 2 Ca , b E n x n ay , by a ,b x dx 4
C表示耦合的波导中传输常数变化；K为耦合系数。
（5.1-2）
（5.1-3）
式（5.1-2）和（5.1-3）是两个波耦合模方程的普遍 ka 和 kb 是各个模不受其它模影响而单 形式。式中， 独存在时的波数；K ab和 K ba 称为耦合系数。 K ab ( K ba )描述模式a（b）对模式b（a）传播模场影响 的大小。当两个模式传输方向一致时，Kab Kba ；两 K K 个模式传输方向相反时， ab ba 。
K k z sin 2 12 2 K k
2-19)



（5.1-20)
K k z / 2 时， P 由式(5.1-19)可知，当 a z 功率 达到最大值，即两个导模之间实现最大的功率转换。 这个距离定义为耦合长度，用Lc表示。
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
2、相反方向耦合。设两个导波模式a、b具有相同的 传播常数，其中正向波（入射波）b沿着z的正方向传 输，反向波a（反射波）沿着z的负方向传输。仍假设 波导无损耗，当波导的两个导模沿相反方向传播时， 可以把它们的场分量分别表示为：
dEa iKEb exp i 2z dz dEb iK Ea exp i 2z dz
K K K 式中
（5.1-26） （5.1-27）
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
设在 z 0 处只有入射波存在单模(b)传播，微扰 发生在耦合区域在 0 z L 范围内，初始条件仍为 Eb 0 Eb0 , Ea 0 0 根据总的功率守恒条件，
d 2 Ea Eb dz
2
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
相反方向耦合时两个导模的功率分布如图5.2a)所示。 由图可以看出，表达式(5.1-31)和(5.1-32)中的sinh(X) 和cosh(X)函数中的因子X[X=K(z-L)]足够大时，耦合 区的入射波能量接近于呈e指数下降，即入射波的能 量被反射成为反向传输的反射波导波模式a。
P r,t P 0 r,t P e r,t
（5.1-5）
P 0 r,t 代表不存在扰动时波导中介质的极化强度； 式中， Pe r,t 代表与耦合波相关的各种扰动引起的极化强度。
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根据上两式得到
Ey 0 r
（5.1-15)
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
两个波导中模式所携带的功率各为 由功率守恒条件可得
2 2 d Ea z Eb z 0 dz
Ea z
2
和
Eb z
2
。


（5.1-16)
利用以上条件，得到耦合波方程的解
Ea z Eb 0 K
exp iz sin K k z （5.1-17)
2

2 12






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第5章 光波导耦合理论与耦合器
波导a和波导b的功率为
Pa z Pb 0 K2
2
K2 2 12 2 2 Pa z Pb 0 1 sin K k z 1 2 2 2 K k
5.1.1 模式耦合方程
5.1.2 光波导耦合的微扰理论
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
5.1.1 模式耦合方程
两个电磁波传播模式存在着相互间的耦合。一个无损 耗的沿z轴方向传播的波模式，写成 E E0 exp i t kz 的标量形式，振幅E0作为z的函数应该是方程
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第5章 光波导耦合理论与耦合器
由此可见，定向耦合器的耦合区长度仅取决于耦合 系数K。耦合系数越大，能量完全转移所需耦合长度 越小，器件尺寸越小。对于耦合器而言，很难使两条 波导完全相同，即做到 k 0 是十分困难的。 由式（5.1-19)可知，当 L / 2K 时，若相位失配因 子 k 3K ，则波导a中传输的光功率为零。因此， 要想制作高性能的耦合器，必须要使相位失配因子尽 可能小。 根据以上分析可知，两个耦合波导可以通过耦合长 度的不同，实现完全交叉态（从b传输到a）传输或者 完全直通态（从b传输到b）传输。