（2）渐近线与实轴的交点
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
a
渐近线的交点总在实轴上，即
必为实数。在计算时，
考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把 开环零、极点的实部代入即可。
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n-m=1，有一条渐进线


A

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n-m=2，有两条渐进线
例４-1
* K G ( S ) H ( S ) S ( S 1 )( S 2 )
求根轨迹
jω
j 2
解：①在Ｓ平面中确定开环零、极点的位置。
② 确定实轴上的根轨迹。
③ n=3，m=0，应有三个分支，
K1=6
并且都趋向无穷远处。
④ 确定渐近线的位置。 p1 p 2 p 3 0 1 2 a 1 nm 30 ( 2 k 1)180 ( 2 k 1)180 a nm 3
j
-2
-1
0
综上所述： （1）k*从0 ~ ∞ 时，系统的根轨迹是连续变化。可见：
系统的参量变化对系统闭环极点分布的影响。
（2）由根轨迹图，可得系统动、静态性能的信息： 1）稳定性 无论k*值如何变化（ k*>0），闭环极点不出现
在s的右半平面，所以系统是稳定的。
2）稳态误差
I型系统，K为静态速度误差系数。
j

z1
0
终止角（入射角）： 根轨迹进入复平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。
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在根轨迹上任取一点s,无限接近极点 - p
切线与实轴的夹角
m n o zi 180 zjzi pjzi 1 j 1 j j i
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zi
。
j

p 3
3 2.3
1
0

起始角（出射角）： 根轨迹离开复平面上开环极点处的切线与实轴的夹角 。
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规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角 （入射角）
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角
pi
。
m n o pi 1 8 0 zj p p p i j i 1 j 1 j j i
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的
n
i 1
j 1
m
4. 根轨迹方程（P139）
特征方程 1+GH = 0 Z 开环零点“○”,是常数！ j m
* 1+K
∏ ( s - zj )
j=1
∏ ( s -pi)
i=1
n
=0
pi开环极点“× ”,也是常数 根轨迹增益k * 不是定数，从 0变化到 ！ ！
这种形式的特征方程就是根轨迹方程 1+k*P(s)=0
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实轴上的根轨迹
设系统开环零、极点分布如 图所示。为在实轴上确定属 于根轨迹的线段，首先在 z 1 和 p 3 之间任选一个试验 点 s1 。
jω ×
p1
s1
z1
o
*
×
p3
σ
p
×
2
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１．共轭复数极点到 s 1 的幅角之 和为０°，相互抵消，因此开 环共轭复数极点、零点对实轴 上根轨迹的位置没有影响，仅 取决于实轴上的开环零、极点。 ２．若实轴上的某一段是根轨迹， 一定满足相角条件。试验点左 s 1 侧的开环零、极点提供的相角 为０°,而右侧的相角为180°。 点满足相角条件，所以z 1 ～ p 3 之间是根轨迹。
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幅值条件改写为:
∞ K*
jω

m
(s z j ) (s pi )
j 1 n
1 K*
K*=0 × -2 K* ∞
K*=0.5 ×K*=0 σ
i 1
在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点
处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n-m条根轨迹将趋 于无穷远处。
例：
K G( S) S( S 2)
*
起点：0，-2 零极点：n=２，m=0
有两条根轨迹（n-m=2）→∞
规则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性
根轨迹的分支数： 与开环极点数n相等（n>m） 根轨迹连续性：
根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。
根轨迹对称于实轴： 特征方程的系数为实数，特征根必为实数 或共轭复数。
第四章
线性系统的根轨迹法
根轨迹法的基本概念
根轨迹绘制的基本法则
广义根轨迹 系统性能的分析
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4-1 根轨迹的基本概念
特征方程的根
运动模态
系统动态响应
（稳定性、系统性能） 1. 根轨迹概念 开环传递函数中的某一个参数从零变化到 无穷时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨 迹称为根轨迹。
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3）动态性能 ① 0＜k＜0.5 时，系统为过阻尼状态，阶跃响应为
非周期过程。 ② k=0.5 时，系统为临界阻尼状态，阶跃响应为非 周期过程。 ③ k>0.5 时，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为阻尼
震荡过程。
（3）结论： 根轨迹与系统性能之间有着直接联系。
2019/2/17
2. 根轨迹与系统性能
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规则3: 根轨迹的渐近线
（1）根轨迹中（n-m）条趋向无穷远处的分支的渐近线 的倾角为
( 2 k 1 ) 180 k 1 , 2 , , ( n m 1 ) a n m
当 k 0时，求得的渐近线倾角最小； K增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有 （n-m）条。
( s z) ( s p ) ( 2 k 1 ) 180
j 1 j i 1 i
m
n
k 0 , 1 , 2 ,
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规则5：根轨迹分离点与会合点
① 两条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点或会合点。 ② 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该相交点 称为根轨迹的分离点。 ③ 当根轨迹分支出由复平面走向实轴时，它们在实抽上的 交点称为会合点。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定： K Bs () 0 1 G ( sHs ) ( ) 1 0 A ( s )
D ( s ) A ( s ) K Bs ( ) 0 0 ' ' ( 1 ) ' A ( s ) B ( s ) A ( sBs ) ( ) 0 ' ' Ds ( ) As ( ) K Bs ( ) 0 0 或
m n ' ' 1 1 d K A () s B ( s ) A () s B () s 0 (3) ， ( 2 ) 0 sd 2 d s B () s j 1 d z j i 1 d pi
i=1 j=1 i=1
k n m时 k * f l 1 k * *
*
* G
j=1
n=q+h m=f+l
k k *
* * k G H
(s ) =
k (s z i ) ( s p j )
* G
f
h
(s p i ) k * (s z j )
i 1
j 1
根轨迹的模值条件与相角条件 没有零点的相角条件和模值条件你会推吗？ 相角条件: (P140) n m
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j i j=1 i=1
m 绘制根轨迹的充要条件
k=0, ±1, ±2, …
模值条件:
1+K Kn =
i=1
) ∏︱ ( s - zn ︱ j p s ︱ ︱ ∏ j=1 i * *


A

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, 或 , 2 2 2 2

3
n-m=3，有三条渐进线


A
5 , , 或, ,
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3
3
3 3
n-m=4，有四条渐进线


A
3 7 3 5 , 或 , , , 4 4 4 44 4
4-2 根轨迹绘制的基本法则 1. 绘制根轨迹的基本法则 规则1：根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于开环极点（K*=0)，终止于开环零点。
简要证明：
( s p ) K ( s z ) 0
* i j i 1 j 1 n m
当 K*
0
，必有S＝ p i ，即终点是开环零点。
当 K* ，必有S＝ z j ，即起点是开环极点。
m n j 1 j i 1 i
jω ×1
p

1 0
z1
o
s1
*
1
×
p3
σ

p
×
2
( s z) ( s p ) ( 2 k 1 ) 180
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规则4：实轴上的根轨迹
若实轴上某段右边的 开环实数零点数+开环实数极点数=奇数 则该段是根轨迹的一部分。 这个结论可以用相角条件证明：
稳定性：考察根轨迹是否进入右半 s 平面。
稳态性能：开环传函在坐标原点有一个极点，系统为
1型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。
注意：根轨迹图上的参数是根轨迹增益，根轨迹增益与 开环增益之间有一个转换关系。