4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。

（1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。

（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。

（3）1()01I D P k k s k G s ss τ⎡⎤+++=⎢⎥+⎣⎦，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。

4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)K s G s s s +=+试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。

4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。

（1）()(0.21)(0.51)KG s s s s =++（2）(1)()(21)K s G s s s +=+（3）(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。

（1）(2)()(12)(12)K s G s s s j s j +=+++-（2）(20)()(1010)(1010)K s G s s s j s j +=+++-4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。

4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)K s G s H s s s +=++试概略绘出闭环根轨迹图。

4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KG s s s s =++（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。

4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问：（1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。

（2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。

（3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。

4-10设系统的开环传递函数为12(1)(1)()K s T s G s s++=（1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。

（2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。

（3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。

（4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。

4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。

（2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。

（3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。

4-12单位正反馈系统如下图所示（1）绘制全根轨迹。

（2）求使闭环系统阻尼比0.707ξ=时的K 的取值。

4-13对于第二章例2.15的磁悬浮试验模型的例子，静态工作点附近被控对象的传递函数描述为244()1785G s s -=-（1）试确定反馈的极性和比例微分控制器(1)p k s τ+的参数，使闭环系统稳定，闭环极点的阻尼比0.707ξ=，无阻尼自然振荡频率10n ω=。

（2）试绘制0τ>、0P k >两参数变化时系统的根轨迹族。

4-12单位反馈系统如下图所示。

（1）设2a =，绘制K 从0→+∞变化时系统的根轨迹，确定系统无超调时的K 的取值，确定系统临界稳定时的K 的取值。

（2）设2K =，绘制a 从0→+∞变化时系统的根轨迹，确定系统闭环根的阻尼比0.707ξ=时的a 的取值。

4-13设单位反馈系统的开环传递函数是10(1)()(0.51)(1)s G s s Ts -=++（1）绘出T 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。

（2）求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T 的值。

（3）求20T =时系统的单位阶跃响应。

4-14设系统开环传递函数如下，试画出b 从零变到无穷时的根轨迹图。

（1）20()(4)()G s s s b =++（2）30()()(10)s b G s s s +=+4-15设单位反馈控制系统的开环传递函数为*(1)()(2)K s G s s s -=+试绘出其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的*K 值。

4-16设控制系统开环传递函数为*2(1)()(2)(4)K s G s s s s +=++试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同？ 4-17系统如下图所示（1）试绘制a T 从0→+∞变化时闭环系统的根轨迹。

（2）为使系统的阶跃响应无振荡，a T 应在什么范围内取值？ 4-18设单位反馈系统的开环传递函数为)2)(1()(++=s s s K s G（1）绘制K 从0→+∞变化时闭环系统的根轨迹。

（2）确定使闭环系统稳定的K 的取值范围。

（3）为使闭环系统的调节时间10s t =秒（按误差带5%∆=计算），求K 的取值。

解：（1）根轨迹方程为0)2)(1(1=+++s s s K ；1、 有三条分支，起始于开环极点01=p ，12-=p ，23-=p ，终止于无穷远处；2、 实轴上的根轨迹区段为：]2,(--∞，[0,1]-；3、 渐近线与实轴交点为103)2()1(0-=--+-+=aσ，夹角为(21)60,180,630a k πϕ+==--； 4、 由0)]()([=s H s G dsd 得分离点满足02632=++s s ，解为42.01-=s ，58.12-=s （舍去，因为它不在根轨迹上），1s 对应得*k 值为)2)(1(111++=*s s s k ＝0.385。

5、与虚轴的交点，将1()()0G j H j ωω+=实虚部分开有322030k ωωω⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解出1230,01.41,61.41,6k k k ωωω***⎧==⎪==⎨⎪=-=⎩根轨迹图如下图所示。

（2）60<<K 时，闭环系统稳定。

（3）按 3.510s nt ζω==得主导极点的实部0.35n ζω-=-，系统的闭环特征方程为32123(1)(2)32()()()s s s K s s s K s s s s s s +++=+++=---式中1,2,3s 为系统的3个闭环特征根，设1,2n d s j ζωω=-±为闭环共轭主导极点，显然有123323n s s s s ζω---=-=这样得到3 2.3s =-。

根据模值条件，3 2.3s =-时的根轨迹增益33312 2.3 1.30.30.897k K s s s *==++=⨯⨯=4-19已知某单位负反馈系统的开环传递函数为2(5)()(2)K s G s s s +=+（1）绘制根轨迹简图；（2）求闭环系统出现重根时的K 值；（3）求使得闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态的K 的取值范围。

解：（1）开环零点15z =-，开环极点10,p =232p p ==-，1m =，3n =。

系统有三条根轨迹分支，起始于极点1p 、2p 和3p ，一条终止于零点1z ，两条趋于无穷远零点。

实轴上根轨迹区域为(50-,）。

渐进线与实轴的交点为1231()0(2)(2)(5)0.531a p p p z n mσ++-+-+---===--夹角为(21)2,32a k n mπϕππ+==-在12p p 与间的实轴上存在一个分离点，分离点的坐标满足11231111d z d p d p d p =++----即2215100d d ++=得1,20.74, 6.76d =--（舍去）。

系统的特征方程为2(2)(5)0s s K s +++=，根轨迹与虚轴的交点满足2(2)(5)0j j K j ωωω+++=即2354(4)0K K j ωωωω-+-+=分别令实部和虚部等于零有2540K ω-=和340K ωωω-+=，解得16, =4.47K ω=。

根轨迹如下图。

（2）根轨迹的分离点处出现重根，根据模值条件有20.81500.81520.2740.8155K ---+==-+（3）当K 取值为(0.274, 16)时，闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态。

4-20设单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(1)KG s s s Ts τ=++式中2K =，1T =，0τ>为变化参数。

（1）试绘制参数τ变化时，闭环系统的根轨迹图，给出系统为稳定时τ的取值范围。

（2）求使3-成为一个闭环极点时τ的取值。

（3）τ取（2）中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间（按5%误差计算）和超调量。

解：（1）系统的特征方程为322(1)(1)(1)(1)220s s Ts K s s s s s s s ττττ+++=+++=++++=等效的开环传递函数为222(1)(1)()()2(0.5 1.32)(0.5 1.32)s s s s G s H s s s s j s j ττ++''==+++++-绘制根轨迹如下图。

图中根轨迹与虚轴的交点可从系统为临界稳定的条件12ττ+=得到1τ=。

1τ=时系统的特征方程为32222(2)(1)0s s s s s +++=++=得与虚轴交点的坐标为j j ω=±。

从根轨迹得到系统稳定的τ的取值范围为01τ<<。

（2）3-成为一个闭环极点时，从根轨迹的模值条件有223311(3)(3)2τ--+=-+-+得40.4449τ==。

（3）0.444τ=时，系统的另外两个闭环根从特征方程322322211299916(3)()044244s s s s s s s s s s s τττ++++=++++=+++=求出为0.125 1.218j -±，显然它是系统的主导极点。

系统的调节时间和超调量分别为 0.1251.2183.5280.125%100%100%100%100%72.5%nds t seeπξωπωσ--⨯===⨯=⨯=⨯=⨯=4-21系统如下图所示。

试绘制系统的根轨迹，并写求出当闭环共轭复数极点的阻尼比ξ=时，系统的单位阶跃响应的表达式。

0.707。