(s z )
i 1 i
m
n m d ln ( s p j ) d ln ( s zi ) j 1 i 1 ds ds

j 1
n
d ln(s p j ) ds
n

i 1
m
d ln(s zi ) ds
m 1 1 s p j 1 i 1 s zi j
2 10Biblioteka 6、根轨迹的起始角和终止角： 根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处 切线与正实轴的夹角：
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
证明：
m n
F ( s) K
*
(s z ) (s p ) 0
i 1 i j 1 j
n dF ( s) d * m K ( s zi ) ( s p j ) 0 ds ds i 1 j 1
(s p ) K (s z )
1 0 若无开环零点，则： i 1 d zi
m
注意：
一般说来，若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这
两相邻极点之间必有分离点；
如果实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）
之间有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。
如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们
之间可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会 合点。
（3）由于K*连续变化，故根轨迹具有连续性。
3、根轨迹的渐近线： n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处，渐近线与实轴交 点和夹角为：
n m pi z j j 1 a i 1 nm (2k 1) a nm
4、实轴上的根轨迹
实轴上某一区域其右方开环实数的零点数和极点数的总 和为奇数，该区域为根轨迹。
渐近线与实轴夹角为： 渐近线与实轴交点为：
j = (2k + 1)p p 3p , k = 0,1j 1 = , j 2 = 3- 1 2 2
0- 2- 3+ 1 =- 2 3- 1
s =
4、求分离点：
1 1 1 1 = + + d+1 d d+ 2 d+ 3 d = - 2.47
j
2.47
3
1 2 3 [1 2 3 4 5 ]
0 3600 [1800 3600 0 0] 1800
5、根轨迹的会合点和分离点：
若干根轨迹在复平面上相遇后又分开的点称为分离点或会 合点。
n 1 1 分离点坐标d的求解： d z i 1 j 1 d p j i m
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 绘制根轨迹的基本法则
4-3 广义根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
根轨迹是开环系统的某一参数从零变化到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在S平面上变化的轨迹。
举例：
R( s )
-
K s (0.5s 1)
C (s)
( s )
K
*
s pn s zm
起点：
终点：
K * 0 s pi
i 1, 2,
K * s zi
n m0
j 1, 2,
m
K
*
lim
s
s p1 s z1
s pn s zm
lim s
s
nm

2、根轨迹的分支数及对称性和连续性 （1）根轨迹分支数＝特征根个数。 （2）由于闭环特征根是实根或共轭复根，故根轨迹对 称于实轴。
二、根轨迹方程
1 G( s)H ( s) 0
G( s ) H ( s ) K
*
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
K*
( s zi ) (s p )
j 1 j
m i 1
m
i 1 n
1
模值条件： ( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1)
特征方程的根 性、系统性能）
运动模态
系统动态响应（稳定
因此利用根轨迹，可以分析系统稳定性、稳态性能和动态性 能。 （1）稳定性：根轨迹都在S左半平面，闭环系统稳定。
2 （2）稳态性能：ess * K
（3）动态性能：0<K*<1，两个不等负实根，过阻尼系统； K*＝1，两个相等负实根，临界阻尼系统； K*>1，一对共轭复根，欠阻尼系统；
* j 1 j i 1 i m d n * d (s p j ) K (s zi ) ds j 1 ds i 1
n
m
(1) (2)
(2) (1)
d n (s p j ) ds j 1
(s p )
j 1 j
n

d m ( s zi ) ds i 1
K* s 2 2s K *
s1,2 1 1 K *
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K * 0, s1 0, s2 2 K * 1, s1 1, s2 1 K * 5, s1 1 2 j , s2 1 2 j K * 2, s1 1 j , s2 1 j
j 1
n
相角条件： K
*

s p sz
i 1 j 1 m
n
j
i
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º 根轨迹。
4-2
绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
s p1 s z1
n
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
G( s) H (s) = 例题：单位反馈系统的开环传递函数为：
K *( s + 1) s( s + 2)( s + 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。 2、实轴上根轨迹为[-3,-2]，[-1，0] 3、求渐近线：