特别说明： 本章课件主要来源于夏门大学郑振龙教授 个人网页国家级精品课程、“十五”国家 级规划教材《金融工程学》教学资料，在 此深表谢意！各位若引用，请注明出处。 仅限于教与学，不得用于任何商业交易活 动！！
练习
某股票的当前价格是94美元，以该股票为标的， 协议价格为95美元、三个月买权的当前售价为 4.7美元，某投资者认为股票价格将上升，他 有两个投资策略可供选择，买入100股股票， 或者买入20份买权，拥有以协议价格买入 2000股股票的权利，投资额均为9400美元。 你会提供什么样的建议？股票价格上升到多少 时期权投资策略盈利更多？（03金融研联考8 分）（ 后一问可去掉，更难！仅投资股票或 期权或股票、期权皆有）
S
在t 时间后：
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
f f S S
把式（6.15）和（6.17）代入上式得：
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将 遵循如下过程（泰勒展开式；P119） G G 1 2G 2 G （6.8） dG ( a b )dt bdz 2 x t 2 x x
由于 dS Sdt Sdz （6.9） 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
2
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST ln S ~ [(
2
2
)(T t ), T t ]
以上结论可参见正态分布性质自行推导。
例6.2 设 A 股票价格的当前值为 50 元 , 预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动 , 且该股票在 6 个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。P120(新版P196) 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？ P121
续:
（一）估计无风险利率 在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的 估计值，但在实际应用时仍然需要注意几个问题。首 先，要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利 率（即零息票债券的到期收益率），而不能选择附息 票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式， 才可以在B-S-M公式中应用。一般来说，在美国人们 大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值， 在中国过去通常使用银行存款利率，现在则可以从银 行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险 利率。其次，要注意选择利率期限。如果利率期限结 构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相 差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的利率作 为无风险利率。
其中，
ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d1 T t ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
我们可以从三个角度来理解这个公式的金 融含义：重点：P125（注意前两点与二项式模型一致） 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X 的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的 概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望 值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST 的风险中性期望值的现值（与二项式模型的一致性！）
标准布朗运动(2)
t 特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 z的值相互独立。（因而具有可加性！！） 考察变量z在一段较长时间T中的变化情 形，我们可得： N z (T ) z (0) i t （6.2） i 1 当 t0时，我们就可以得到极限的标准布朗 运动： （6.3） dz dt
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、 2 2 方差率为 S 的伊藤过程来表示： 两边同除以S得：
dS Sdt Sdz
dS dt dz S
（6.6）
说明：各位对此若有想法，可大胆假设证券价格的变 化服从新的微分方程并从理论和实践两方面证明你的 结论。
方法一：布莱克-舒尔斯期权 定价模型
பைடு நூலகம்
第一节
证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速 而准确的，证券价格能完全反应全部信 息；市场竞争使证券价格从一个均衡水 平过渡到另一个均衡水平，而与新信息 相应的价格变动是相互独立的。(课本P188)
二、布莱克——舒尔斯期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时 E[max( ST X ,0)] （T时刻）的期望值为： r (T t ) 其现值为 c e （6.19） E[max( ST X ,0)] 对数股票价格的分布为： 2 ln ST ~ [ln S (r )(T t ), T t（ ] 6.20） 2 对式（6.19）求解： r (T t ) c SN(d1 ) Xe N (d 2 ) （6.21）
三、伊藤过程
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若 把变量 x 的漂移率和方差率当作变量 x 和时间 t 的函数，我们可以从公式（ 6.4 ）得到伊藤过 程（Ito Process）： dx a( x, t )dt b( x, t )dz (6.5） 其中， dz 是一个标准布朗运动， a 、 b 是变量 x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
（与当前价格、无风险收益率、时间、方差有直接关系）
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的，那么 所有现金流量都可以通过无风险利率进 行贴现求得现值。 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱 克——舒尔斯微分方程而作出的人为假 定，但通过这种假定所获得的结论不仅 适用于投资者风险中性情况，也适用于 投资者厌恶风险的所有情况。
从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为： S t t S
S 可见， 也具有正态分布特征（有关正态分布性质自查） S
S ~ ( t , t ) S
(6.7)
例6.1(新版P196)
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。 （答案P119;共同思考）
效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。 随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。（如：f=ma 系确定的方式;而f=m*N(0,1)
N (d1 )是复制交易策略中股票的数 其次， 量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2) 则是复制交易策略中负债的价值。 最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 （Asset-or-noting call option）多头和现 金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看 涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或 无价值看涨期权空头的价值。
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。 (漂移率、方差率见定义：P191） 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期 望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗 运动： （6.4） dx adt bdz 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗 运动。
f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t 2 t 2 S S
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为：
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分方 程(偏微分方程)，它适用于其价格取决 于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式 （6.23）也给出了无收益资产美式看涨期权的 价值。 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关 系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价 公式 ： r (T t ) p Xe N (d2 ) SN(d1 ) （6.22） 由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密 的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树 和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求 出。
S t 2 S S
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S )t S（ z 6.14） 2 S t 2 S S
为了消除z ，我们可以构建一个包括一单位 f 衍生证券空头和 S单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则（为简化进行变量代换）： f (6.15) f S
B-S-M期权定价公式的参数估计
参见课本P206
我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期 权价格取决于下列五个参数：标的资产 市场价格、执行价格、到期期限、无风 险利率和标的资产价格波动率（即标的 资产收益率的标准差）。在这些参数当 中，前三个都是很容易获得的确定数值。 但是无风险利率和标的资产价格波动率 则需要通过一定的计算求得估计值。
不确定的方式）
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。(阅读课本：P188)
二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z 代表变 t代表一个小的时间间隔长度， 设 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z 和 t的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） （不确定的） 代表从标准正态分布 其中， （即均值为 0 、标准差为 1.0 的正态分布） 中取的一个随机值。