My x Iz
铁木辛柯梁
弹性力学解(单位宽度,矩形截面)
My y y 3 x q (4 2 ) Iz h h 5
4
2
应力集中：材料力学和弹性力学处理的不同
○
○
5
4、弹性力学的基本假定
(1) 连续性（Continuity）
用途：应力、应变、位移等等才可以用坐标 的连续函数来表示。 (2) 线弹性（Linear elasticity） 用途：符合胡克定律。 (3) 均匀性（Homogeneity） 用途：弹性常数不随位置坐标而变。 （4）各向同性（Isotropy） 用途：弹性常数不随方向而变。 符合以上假定称为理想弹性体。
z 0, zx zy 0
结论：
平面应变问题只有三个应变分量：
x x ( x, y)
y y ( x, y)
xy yx xy ( x, y)
应力分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
19
例2 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
思考：黑板和甲板力学模型各属于弹性力学那类问题?
20
2-4
平衡微分方程
PA dx PB dy
O
P
取微元体PABC（P点附近），
Z 方向取单位长度。
y
x
x
yx A
X
y
AC面：
2
xy
D
x x dx x
Y
C
B
y y x 1 x y dy x dx (dx) 2 y x 2! x 2 x x dx x 2 xy xy 1 xy 2 dx xy dx (dx) xy 2 x 2! x x y y dy y BC面： 注： 这里用了小变形假定。 yx yx dy y
0 u v y x
30
2、几何方程的几点说明
１、如果物体的位移确定，则应变完全确定。 ２、如果物体的应变分量确定，则位移不完全确定。 ３、平面应力和平面应变问题几何方程相同。 ４、几何方程只适合小变形的情况。
31
2-7 物理方程（本构方程）
x
xx
xz
xy yx
yy
y
当微小的平行六面体趋于无穷 小时，六面体上的应力就代表 10 P点处的应力。
符号规定
z
z
zy yz
①当面素的外法线与坐标 同向（正面）时，应力分量与 x 坐标正向一致者为正； ②当面素的外法线与坐标反向 （负面）时，应力分量与坐标 反向者为正。
zx

2
zy z t 2
0
z 0 zx 0 zy 0
y
a
y
结论：
平面应力问题只有三个应力分量：
y
x
xy
y
x x ( x, y)
yx
x
xy
y y ( x, y )
xy yx xy ( x, y)
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
y
Su
us u vs v
用us 、 vs表示边界上的位移分量， u, v 表 示边界上位移分量的已知函数。
S S Su
当u v 0时,
称为齐次位移边界。
26
（2）应力边界条件
给定面力分量
O q 边界 —— 应力边界
x
X ,Y
S
P
斜面的应力公式，得
X N l x m yx YN m y l xy
T
xx xy xz zx yx yy yz zx zy zz
12
量纲：N m2或Pa
３、应变
x表示x向微分线段的单位伸缩或相对伸缩，称为线应变或
正应变．以伸长为正，缩短为负．
xy表示x向和y向线段之间直角的变化，称为角应变或切应
变．以直角减小为正．
应变是无量纲的量 空间问题
第二章 弹性力学的基本知识
1
2-1、弹性力学和材料力学
1、研究的对象： 材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等） 弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）
2
2、研究的方法： 已知 外力、边界条件、几何、材料
求 满足
应力、应变、位移 平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件
3
欧拉—伯努力梁
材料力学解
xy
v u x y
29
1、平面问题的几何方程
u x x
v y y
v u xy x y
矩阵形式
x x y 0 xy y
dy
yx
yx
xy
xy x
dx
21
F
x
0
x ( x dx)dy 1 x dy 1 x yx ( yx dy)dx 1 yx dx 1 y y
O
P
y
x
x
yx A
X
xy
D
x x dx x
Y
T
u
15
2-3、两种平面问题
１、平面应力问题
(1) 几何特征
等厚度薄板
b
x
t
z
t a, t b
y
a
y
(2) 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用， 沿 z 方向不变化。
16
(3) 应力特征
b
x
t
z
z z t 0 2 zx z t 0
思考：理论力学、材料力学、弹性力学考虑平衡条件时，有何区 24 别？
2-5 边界条件
建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。
O q x
S
P
边界分类 （1）位移边界 S u （2）应力边界 S
y
Su
S S Su
25
（1）位移边界条件 位移分量已知的边界 —— 位移边界
角的变化
O P
x
u
P
B
u u dx x v v dx x
dx A
v
dy y

A

v v dx v x v tan dx x
xy
v v dy y
u u dy y
B


u u dy u y tan u dy y
xy
B
dx dy ds
A XN
YN
27
N
2-6
几何方程
建立：平面问题中应变与位移的关系
O x P
P点邻域内线段的变形：
u
u
P
B
u dx x
PA dx
PB dy
dx A
v
dy

A
v v dx x
y
变形前 P 变形后

P A
u v u u dx x
v v dy y
dy dy ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 y 2 2 1 xy 1 yx xy dx yx dy 2 x 2 y
当 dx 0, dy 0 时，有
yx
xy yx
—— 剪应力互等定理 23
平面情况的平衡微分方程
x yx X 0 x y xy y Y 0 x y
1、平衡微分方程适用条件是：符合连续性和小变形的假定 2、对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同 3、平面平衡微分方程是2方程，3未知 4、平衡方程中不含材料参数
5、平衡方程满足整个弹性体，包括边界。
14
弹性力学待求的物理量
空间问题
15个
x x
y z xy yz zx
v w
T
y z xy yz zx
T
T
u
平面问题
8个
x
y xy
v
T
T
x
y xy
1、空间情况的物理方程（各向同性体）
f
1 x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
x


yz zx xy
X F Y Z
量纲：N m
2
X F Y
正负规定：面力分量 沿坐标轴正向为正.
8
2）体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力。 体力分量向量表示
空间问题 平面问题
X F Y Z
X F Y
A
v v dx x
B
u u dy y u u dy y B v v dy y
B
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
28
PA的正应变： u u dx u u x x x dx PB的正应变： v v dy v y v y dy y P点的剪应变：
y y
xy x
xy dy 1 Ydx dy 1 0
22
Y 0
O
P
y
x
x
yx A
X
MD 0
xy
y
xy
D
x x dx x