0.0008 0.0009
0.4020
0.0012
0.6012 0.8005
0.0012 0.0010
0.9995
0.0000
EH
m 0.0012 100% 100% 0.12% y FS 0.99967
解 为了求最小二乘法拟合直线方程，就是要确定方 程系数b和K。为此，首先对三次正、反行程校验输出 值平均，计入表中。校验数据点数n=6，并根据前面 计算公式，列表求出:
传递函数：
Y ( s) bms m bm 1s m1 ......b1s b0 H ( s) X ( s) ans n an 1s n1 ......a1s a 0
特点：
（1）反映传感器系统本身特性，与 x(t) 无关。
（2）X(s)、Y(s)、H(s)知二求一
第2章 传感器的一般特性
2.1 概述 2.2 传感器的静态特性 2.3 传感器的动态特性
2.1 概述
传感器要将各种信息量变换为电量，描述这种变换 的输入与输出的关系表达了传感器的基本特性。 描述传感器基本特性的方法： 数学模型 基本特性指标 静态数学模型
根据被测 输入量
静态特性 （稳态或准静态） 静态特性指标 动态数学模型 动态特性 （周期变化或瞬态） 动态特性指标
动态误差
测试曲线
t
t0
t
热电偶测温过程曲线
动态误差

输出稳定后与理想输出量的误差
输入量跃变，输出量在过渡状态的误差
一、传感器的动态模型
数学描述 微分方程(时域)
传递函数（频域）
1. 微分方程 条件：线性时不变系统（高阶常系数线性微分方程）
dny d n 1 y dy d mx d m1 x dx an n an 1 n 1 ......a1 a 0 y bm m bm 1 m1 ......b1 b0 x dt dt dt dt dt dt
2.2 传感器的静态特性
• 静态特性：指在静态信号的作用下，描述传 感器的输入、输出之间的一种关系。
一、传感器的静态模型
y a 0 a1 x a 2 x ...... anx
2 n
x—输入量；y—输出量；a0—零位输出；a1—传感器 的线性灵敏度；a2 ……an—非线性项待定常数。
最小二乘法：与校准曲线的残差平方和最小
例： 用最小二乘法求拟合直线。
设拟合直线
残差
y kx b i yi (kxi b)
令V i 2 最小
i 1 n
分别对k和b求一阶导数，并令其=0，
V V 0， 0 k b
可求出b和k
b
i 1
xi ( xi y i ) xi y i
dny d n 1 y dy an n an 1 n 1 ......a1 a 0 y dt dt dt d mx d m 1 x dx bm m bm 1 m 1 ......b1 b0 x dt dt dt
两边取拉氏变换：
(ans n an 1s n 1 ......a1s a 0)Y ( s) (bms m bm 1s m1 ......b1s b0) X ( s)
Ez ˆ yFS 100%
—置信系数(2~3)
ˆ 服从高斯(正态)分布，标准偏差可 如标准偏差 按贝塞尔公式计算：
2 ( y y ) i i 1 n

(n 1)
1 n y yi n i 1
5.分辨力（ △xmin ） △xmin ×100% x 在规定的测量范围内，传感器所能检 FS 测出最小输入变化量。分辨率用相对 xFS —— 输入量的 于输入满量程的相对值表示。即 满量程值
(2)按相同输入条件多次测试的输出 特性曲线越重合，其重复性越好，误 差也越小； (3)传感器重复性误差与迟滞现象相 同，主要由传感器机械部分的磨损、 间隙、松动、部件的内摩擦、积尘以 及辅助电路老化和漂移等原因产生。 0
y
max2
max1
x
可用标准偏差表示 (4)不重复性误差一般属于随机误差的性质
xi 7.5
i 1
6
yi 3.00767
i 1
6
xi yi 5.50394
i 1
6
xi 13.75
2 i 1
6
由此可得 为
K=0.3987V/MPa，b=0.0028V，则直线方程
y=0.3987x + 0.0028 (V)
求解线性度 再将各校验点的输入值代入直线方程即可得到理论 拟合直线上对应点的输出值yi，计入表中。由此可 得实验曲线与拟合直线间各校验点的非线性误差 i=yiyi。最大非线性误差max=0.0005MPa，所以 非线性误差为
设输出量y(t)为位移 根据牛顿第三定律
a0 a1
f阻力+f弹力=F(t)
列出微分方程 dy a1 a0 y b0 x dt
弹性系数 阻尼系数
y( t )
b0 x(t) =F(t)
2. 传递函数 定义：初始条件为零时，输出量（响应函数）的拉普 拉斯变换与输入量（激励函数）拉普拉斯变换之比。
△max
y FS
y FS
max
max xm x xm x
ห้องสมุดไป่ตู้
eL= ±
YFS
×100%
输出满量程值
传感器的线性度
• 拟合直线：在输入量变化允许的范围内，可以用 满足一定条件的直线来近似地代表实际曲线或其 一段，该直线即称为“拟合直线”（工作曲线）。 • 工作曲线的拟合方法有多种。选定的工作曲线不 同，线性度亦不相同。选定工作曲线的原则是 （保证最可能小的线性误差,计算与使用方便）。 我们最常采用的是最小二乘法进行曲线拟合。
一阶传感器的单位阶跃响应信号为 响应时间t = TS 时的动态误差 ed： T s0 s0 e T ed e s0
S S
y (t ) s0 (1 e )
2.3 传感器的动态特性
动态特性：输入量随时间变化时传感器的响应特性。 例：设T＞T0，现在将热电偶迅速 插到恒温水槽的热水中（插入时 间忽略不计），这时热电偶测量 的温度参数发生一个突变，即从 T0突然变化到T，立即看一下热电 偶输出的指示，是否在这一瞬间 从原来的T0立刻上升到T呢？
T T T0 0
i 1
n
n
n
2 n
x n x
i 1 n n 2 i 1 i i 1
i 1
2 i
n 1 n yi K xi y Kx i 1 n i 1


K
x y
i 1 i i 1 n
n
n
i 2
n ( xi y i )
i 1
n
n 2 xi n xi i 1 i 1
6.漂移 传感器在外界的干扰下，输出量发生了与 输入量无关的变化。主要有“零点漂移”和“灵敏度 漂移”，这两种漂移又可分为“时间漂移”和“温度 漂移”。
7. 静态误差（精度） 偏 偏 (1)将非线性、滞后、 (2)将全部校准数据相对于 小 大 重复性误差几何、 拟合直线求标准偏差 代数法综合 p
es eL2 eH 2 ez 2 es (eL eH ez )
阶跃响应法（时域）
频率响应法（频域）
1. 传感器的阶跃响应(时域) • 下面以传感器的单位阶跃响应来评价传感器的动 态特性。 当给静止的传 感器输入一个 阶跃信号
0 , t 0 b0 x (t ) b0 , t 0
其输出信号即为传感器的阶跃响应。
(1)一阶传感器的阶跃响应特性 一阶传感器的微分方程为： 对初始状态为零的传感器， 当输入一个单位阶跃信号
(2 ~ 3) es 100% yF S
2 ( y i ) i 1
p 1
(3)将非线性、迟滞视为系统误差，重复性视为随机误 差 | (y max ) | es 100% yF S
提高传感器性能的技术途径:
通常，由单一敏感元件与单一变送器组成的 传感器，其输出-输入特性较差，如果采用差动、 对称结构和差动电路（如电桥）相结合的差动技 术，可以达到消除零位值、减小非线性、提高灵 敏度、实现温度补偿和抵消共模误差干扰等的效 果，改善传感器的技术性能。
H2(S)
Hn (S)
H(S)
H
i 1
n
i
(S)
(B)并联系统： 总传递函 x 数为各子系统 传递函数的和。
H1 ( S )
y
H2(S)
Hn (S)
二、动态特性指标
通常从时域和频域两方面采用瞬态响应法和 频率响应法来分析传感器的动态特性
输入信号

阶跃函数 指数函数 斜坡函数 冲激函数 正弦函数
例：有一压力传感器，校验数据如表1所示，求迟滞 误差、最小二乘法拟合直线方程及线性度。
表1 压力传感器校验数据及数据处理表
求迟滞误差： 迟滞误差数据
正行程输 出平均值 0.0027 0.2018 0.4008 0.6000 0.7995 0.9995
反行程输 出平均值
滞环误差
0.0035 0.2027
y FS
yd m
yi
xm x
传感器的滞回误差
2.灵敏度Sn（或K）
稳态下传感器的输出增量与输入增量的比值。即
y
y
Sn y x
y
x
输出量的变化 Sn 输入量的变化
Sn
i
dy dx
x xi
？ 纯线性传感器与非
线性传感器的灵敏度 有何区别