计时双基练五十二圆的方程A组基础必做1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A．－1 B．1C．3 D．－3解析因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，所以3³(－1)＋2＋a＝0，解得a＝1。
答案 B2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是( )A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定解析将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即 0＋a 2＋ 0＋1 2> 2a，所以原点在圆外。
答案 B3．(2016²银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( ) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0。
答案 B4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17解析圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值。
又C1关于x 轴对称的点为C3(2，－3)，如图所示，∴|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为＝|C 3C 2|－4＝ 2－3 2＋ －3－4 2－4＝52－4。
故选A 。
答案 A5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2。
因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1。
答案 A6．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 解析 解法一(几何法)：如图所示，设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ，则点P 在圆O 上，且MP 与圆O 相切，而点M 在直线y ＝1上运动，由圆上存在点N 使∠OMN ＝45°， 则∠OMN ≤∠OMP ＝∠OMA ，∴∠OMA ≥45°，∴∠AOM ≤45°。
当∠AOM ＝45°时，x 0＝±1。
∴结合图像知，当∠AOM ≤45°时，－1≤x 0≤1， ∴x 0的范围为[－1,1]。
解法二(代数法)：设MN 与x 轴交点为P ，∠MOP ＝α，则∠MPE ＝α＋π4，所以k MN ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋1x 01－1x 0＝x 0＋1x 0－1，利用点斜式建立MN 方程可得y －1＝x 0＋1x 0－1(x －x 0)，化简得(1＋x 0)x ＋(1－x 0)y －(x 20＋1)＝0，则O 到MN 的距离满足|x 20＋1|2＋2x 2≤1，化简得－1≤x 0≤1，故选A 。
答案 A7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________。
解析 如图，设圆心坐标为(2，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋4＝r 2，|1－y 0|＝r ，解得y 0＝－32，r ＝52，∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254。
答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2548．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________。
解析 ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5。
又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4。
∴a －b ＝a －4<1。
答案 (－∞，1)9．(2016²绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋2kx ＋2y ＋k 2＝0上的点的距离的最小值是________。
解析 圆的方程化为标准式为(x ＋k )2＋(y ＋1)2＝1。
∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1。
易知点P (1,2)在圆外。
∴点P 到圆心C 的距离为：|PC |＝ k ＋1 2＋32＝ k ＋1 2＋9≥3。
∴|PC |min ＝3。
∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2。
答案 210．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，求圆C 的方程。
解 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ， 又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0。
∴E ＝－2k －1。
故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12。
∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3。
∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6。
∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0。
11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410。
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程。
解 (1)∵直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0。
(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0。
① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210。
∴(a ＋1)2＋b 2＝40。
②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2。
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)。
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40。
B 组 培优演练1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43。
答案 C2．已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________。
解析 因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°， 所以圆心O 到直线的距离为12a 2＋b2＝22， 所以a 2＝1－12b 2≥0，即－2≤b ≤2。
设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝a 2＋ b －1 2＝12b 2－2b ＋2＝22(2－b )。
又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1， 所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π。
答案 (3－22)π3．(2015²湖北卷)如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2。
(1)圆C 的标准方程为________；(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2； ③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22。
其中正确结论的序号是________。
(写出所有正确结论的序号)解析 (1)由题意可设圆心C 坐标为(1，b )，取AB 中点为P ，连接CP ，CB ， 则△BPC 为直角三角形，得|BC |＝r ＝2＝b ， 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2。
(2)由(1)知圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2， 令x ＝0，得y 1＝2－1或y 2＝2＋1， 所以A (0，2－1)，B (0，2＋1)。
设M (cos θ，sin θ)，则|MB |2＝cos 2θ＋(sin θ－2－1)2＝4＋22－2(2＋1)sin θ， |MA |2＝cos 2θ＋[sin θ－(2－1)]2＝4－22－2(2－1)sin θ。
∴|MB |2|MA |2＝4＋22－2 2＋1 sin θ4－22－2 2－1 sin θ ＝2＋2－ 2＋1 sin θ2－2－ 2－1 sin θ＝ 2＋1 2－sin θ 2－1 2－sin θ＝2＋12－1＝3＋22。
∴|MB ||MA |＝1＋2。
同理|NB ||NA |＝1＋2。
∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |，即①成立。
又|NB ||NA |－|MA ||MB |＝1＋2－11＋2＝1＋2－(2－1)＝2， ∴②也成立。