13
4．如图 M，N，P，Q 为海上四个小岛，现要建造三座 桥，将这四个小岛连接起来，则共有________种不同的建桥 方法．
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14
解析：M，N，P，Q 两两之间共有 6 条线段(桥抽象为 线段)，任取 3 条有 C36＝20 种方法，其中不合题意的有 4 种 方法．则共有 20－4＝16 种不同的建桥方法．
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3．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某 次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方 案有________种．
解析：①有 1 名女生：C12C34＝8. ②有 2 名女生：C22C24＝6. ∴不同的选派方案有 8＋6＝14(种)． 答案：14
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必考部分
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1
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
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2
第二节 排列与组合
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3
主干知识·整合 热点命题·突破
课堂实效·检测 课时作业
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4
主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源
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5
排列
1．排列的定义：从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个 元素，按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列．
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3．破解排列、组合问题的十种方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排 列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不 相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题 直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造 模型；(10)正难则反，等价条件．
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11
排列与组合有何异同点？ 提示：排列与组合问题的共同点：都是“从 n 个不同元 素中取出 m 个元素”；不同点：前者与元素的顺序有关， 为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”，后者与元素的 顺序无关，为“将取出的元素合成一组”． 因此我们可以得到：区分某一问题是排列问题还是组合 问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关．
数的个数为( )
A．8
B．24
C．48
D．120
解析：分两步： (1)先排个位有 A12种排法． (2)再排前三位有 A34种排法，故共有 A12A43＝48 种排法．
答案：C
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9
组合
1．组合的定义：从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个 元素 合成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合．
2．排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 Amn 表示．
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6
3．排列数公式：Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ． 4．全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，Ann＝n·(n－1n)！·(n－2)·…·2·1＝ n！.排列 数公式写成阶乘的形式为 Amn ＝ n－m，！这里规定 0！＝ 1 .
(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．
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【解】 (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A57＝2 520 种排法．
(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A77＝5 040 种排法．
(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全 排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列， 有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A22种排 法，根据分步乘法计数原理，共有 A33·A44·A22＝288 种排法．
答案：16
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15
1．排列问题与组合问题的识别方法： 识别方法
排 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是 列 排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 组 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是 合 组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关
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16
2．组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面，一个简 化运算，当 m>n2时，通常将计算 Cmn 转化为计算 Cnn－m.二是列 等式，由 Cxn＝Cyn可得 x＝y 或 x＋y＝n.性质(3)主要用于恒等 变形简化运算．
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7
1．若从 6 名志愿者中选出 4 名分别从事翻译、导游、
导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180 种
B．360 种 C．15 种
D．30
种
解析：从 6 名志愿者中选出 4 人进行全排列， 所以共有 A46＝360(种)选派方案．
答案：B
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8
2．用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字题·突破 02
考点突破 解码命题
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排列问题
【例 1】 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排 队，求不同的排队方案的方法种数：
(1)选其中 5 人排成一排；
(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；
(3)全体站成一排，男、女各站在一起；
(4)全体站成一排，男生不能站在一起；
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22
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题 时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用 特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条 件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定 序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方 法．
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(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有 A44种排法，男 生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A35种排法，故共有 A44·A53＝1 440 种排法．
(5)先安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A15＝5 种排法；再安排其他人，有 A66＝720 种排法．所以共 有 A15·A66＝3 600 种排法．
2．组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素的 所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的组合数，用 Cmn 表示．
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10
3
．
组
合
数
的
计
算
公
式
：
C
m n
＝
Amn Amm
＝
n！ m！n－m！
＝
nn－1n－m2！…n－m＋1，由于 0！＝ 1 ，所以 Cn0＝ 1 .