第11章 动量矩定理上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。

但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。

在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。

11.1 动量矩定理11.1.1质点和质点系动量矩1．质点的动量矩如图11-1所示，设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ，与力F 对点O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O 的动量矩为v r v M m ×=)(m o （11-1）图11-1图11-2质点对固定点O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍，即mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中，h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离，称为动量臂。

单位为kg.m 2/s 。

质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似，如图11-2所示，质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩，定义质点对固定轴z 的矩，同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。

质点对z 轴的动量矩是代数量，即z o xy o m =m M =m M Z)]([])[()(v M v v （11-2）2．质点系的动量矩质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和，即∑==ni i i o )(m 1v M L o （11-3）质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即Zo ni i i z z )(m =L ][L v M =∑=1（11-4）刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计算。

刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i 的质量为m i ，到转轴的垂直距离为i r ，某瞬时的角速度为ω，刚体对转轴z 的动量矩由式（11-4）得图11-3ωJ =ω)r m (=)r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z ni i i n i i i i ni i i i ni i i z ∑∑∑∑====12111v z即ωJ =L z z （11-5）其中，∑=ni i i z r m =J 12为刚体对转轴z 的转动惯量1。

定轴转动刚体对转轴z 的动量矩等于刚体对转轴z 的转动惯量与角速度的乘积。

11.1.2质点和质点系动量矩定理1．质点的动量矩定理如图11-1所示，设质点对固定点O 的动量矩为)(m o v M ，力F 对同一点O 力矩)(o F M ，将式（11-1）对时间求导得)(m dtd m ×dt d =)m ×(dt d =)(m dt d o v r v r v r v M ×+][ )(=m ×=o F M F r v v ×+即)(=)(m dtdo o F M v M ][ （11-6） 质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对同一点的矩。

将式（11-6）向直角坐标系投影得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)(M =)(m M dt d )(M =)(m M dtd)(M =)(m M dt dzz y y x x F v F v F v ][][][ （11-7） 特殊情形：当质点受有心力F 的作用时，如图11-4所示，力矩0=)(o F M ，则质点对固定点O 的动量矩)(m o v M =恒矢量，质点的动量矩守恒。

例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩0=)(o F M ，行星的动量矩)(m o v M =恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v 与恒星到速度矢量的距离h 成反比。

1刚体对转轴的转动惯量计算见附录Ⅱ图11-4例题11-1如图11-5所示单摆，由质量为m 的小球和绳索构成。

单摆悬吊于点O ，绳长为l ，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的运动规律。

图11-5解：根据题意以小球为研究对象，小球受力为铅垂重力g m 和绳索拉力F 。

单摆在铅垂平面内绕点O 作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为ϕ，ϕ为逆时针时正，如图11-5所示。

则质点对点O 的动量矩为mvl )m (M o =v 作用在小球上的力对点O 的矩为ϕsin mgl )(M o -=F 由质点的动量矩定理得ϕsin mgl l v m -=& （1）由于ϕ&l ωl v ==，则ϕ&&&l v =，又由于单摆作微振幅摆动，则ϕϕ≈sin从而由式（1）得单摆运动微分方程为022=+ϕϕlgdt d （2） 解式（2）得单摆的运动规律为)t sin(ωn o θϕϕ+= 其中，lgωn =称为单摆的角频率，单摆的周期为 gl πωπT n22==o ϕ称为单摆的振幅，θ称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。

2．质点系的动量矩定理设质点系由n 个质点组成，对每一个质点列式（11-6）有)(+)(=)(m dtdi i o e i o i i o F M F M v M ][ 其中，)(ei o F M 为外力矩，)(i i o F M 为内力矩，上式共列n 个方程，将这些方程进行左右连加，并考虑内力矩之和为零，得∑∑==ni e i o n i i i o )(=)(m dt d11F M v M ][ ∑∑==ni e i o ni i i o )(=)(m dt d 11F M v M ][ 即 ∑=ni e i o o )(=dt d1F M L （11-8）质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和（或称外力的主矩）。

将式（11-8）向直角坐标系投影得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∑∑∑===ni e i z z n i ei y y ni e i x x )(M =L dtd )(M =L dt d )(M =L dt d 111F F F （11-9）特殊情形：（1）当作用在质点系上外力对某点的矩等于零时，即01=∑=ni e i o )(M F ，由式(11-8)知，质点系动量矩=o L 恒矢量，则质点系对该点的动量矩守恒。

（2）当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，则质点系对该轴的动量矩守恒。

例如01=∑=ni e i x )(M F ，由式（11-9）知，质点系对x 轴的动量矩=x L 恒量，则质点系对x轴的动量矩守恒。

例题11-2在矿井提升设备中，两个鼓轮固联在一起，总质量为m ，对转轴O 的转动惯量为o J ，在半径为1r 的鼓轮上悬挂一质量为1m 的重物A ，而在半径为2r 的鼓轮上用绳牵引小车B 沿倾角θ的斜面向上运动，小车的质量为2m 。

在鼓轮上作用有一不变的力偶矩M ，如图11-6所示。

不计绳索的质量和各处的摩擦，绳索与斜面平行，试求小车上升的加速度。

M图11-6解：选整体为质点系，作用在质点系上的力为三个物体的重力g m 、g 1m 、g 2m ，在鼓轮上不变的力偶矩M ，以及作用在轴O 处和截面的约束力为ox F 、oy F 、N F 。

质点系对转轴O 的动量矩为222111r v m r v m ωJ L o o ++=其中，ωr v 11=，ωr v 22=， 则ωr m ωr m ωJ L o o 222211++=作用在质点系上的力对转轴O 的矩为θsin gr m gr m M M o 2211-+= 由质点系的动量矩定理∑=ni e i o o )(=dt d1F M L 得θsin gr m gr m M ωr m ωr m ωJ o 2211222211-+=++&&& 解得鼓轮的角加速度为2222112211r m r m J sin gr m gr m M αo ++-+=θ小车上升的加速度为22222112211r r m r m J g)sin r m r m (M a o ++-+=θ例题11-3如图11-7所示的装置，质量为m 的杆AB 可在质量为M 的管CD 内任意的滑动，AB=CD =l ，CD 管绕铅直轴z 转动，当运动初始时，杆AB 与管CD 重合，角速度为o ω，各处摩擦不计。

试求杆AB 伸出一半时此装置的角速度。

解：以整体为质点系，因作用在质点系上的外力为重力和转轴处的约束力，对转轴的力矩均为零，故质点系对转轴的动量矩守恒。

即z L =恒量管CD 作定轴转动，杆AB 作平面运动，由运动学知CD AB ωωω== 杆AB 的质心E 速度为Er Ee Ea v v v +=管CD 对转轴的动量矩为ωMl ωJ L z zCD 231== 当杆AB 伸出为x 时，对转轴的动量矩为ωml ωx l m ωJ x l mv L c Ee zAB 22121)2()2(++=++=当0=x 时：o o o zAB zCD z ωml ωl m ωMl L L L 2221121431++=+=当2lx =时：ωml ωl l m ωMl L L L zAB zCD z 2222121)22(31+++=+=ωml ωMl 22121331+= 由21z z L L =得此装置在该瞬时的角速度为o ωmM m M ω413++=3．质点系相对质心的动量矩定理建立定系oxyz ，和以质心C 为坐标原点的动坐标系z y x C '''。

设质点系质心C 的矢径为c r ,任一质点i 的质量i m ，对两个坐标系的矢径分别为i r 、i ρ，三者的关系如图11-8所示。

ρ+r =r质点系对固定点O 的动量矩为∑∑∑∑====⨯⨯⨯ni i i ni i ni i i c ni i o m +m ×=m )+(=m =1111i i c i i i v ρv r v ρr v r L （1）其中，质点系对质心C 的动量矩为∑=⨯ni i i c m =1i v ρL （2）质点系相对定系的动量为c i i v v P M =m =ni ∑=1 （3）将式（2）和式（3）代入式（1）得有质点系对固定点O 的动量矩和质点系对质心C 的动量矩间的关系为Co L +P ×r =L c （4）式（4）对时间求导得dtd +dt d +M =dt d cc L P r v v L c c o ⨯⨯ （5） 作用在质点系上的外力对固定点O 的力矩为∑∑∑∑====⨯⨯⨯ni e i i ni ei c ni ei i c ni ei i +=)+(==1111F ρF r F ρr F ×r M o (6)作用在质点系上的外力对质心C 的力矩为∑=⨯ni e i i c =1F ρM （7）将式（5）、（6）和（7）代入质点系动量矩定理式（11-8）中，并考虑质点系动量定理，从而得c cdtd M L = （11-10）质点系相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对质心之矩的矢量和（或称主矩）。