第1讲 模糊数学简介、教学安排一、简介1.发展历史美：65，L.A.Zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆）英国：74，马丹尼，蒸汽机控制丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊逻辑实现了对水泥窑炉的控制。

日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。

84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。

８８年，日立公司对日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。

85，IFSA 成立国际模糊系统协会我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，逐步与经典数学相对应的各个领域都有人研究。

当前研究、利用模糊技术的领域已经扩展到经济、社会等各个方面。

国际杂志：*FSS-Fuzzy Set and Systems，*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),*Fuzzy Mathematics etc.IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。

１９９５年IEEE给Zadeh 授予了学会的荣誉勋章。

2.趋势①研究与应用人数逐年上升②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：*在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。

*工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。

*在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。

*在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。

*在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C I指定自动化系统等方面。

3*模糊家电产品：模糊洗衣机，空调，烤箱，照相机，摄像机，……3.与其它学科结合越来越紧，如：模糊神经网络模糊遗传算法……………………二、课程内容1.基本理论*模糊集合*隶书函数确定的若干方法*模糊关系*扩张原理与模糊数2.应用*模糊模式识别*模糊聚类分析*模糊综合评判3.学习本课程的目的一是学习、了解模糊数学的基本理论，为进一步学习相关内容打下基础；二是掌握应用模糊数学解决实际问题的一些基本方法；三是培养我们应用数学知识解决实际问题，尤其是解决涉及不确定问题的意识和能力。

数学素质：悟性例子：应用数学知识解决实际问题的意识、兴趣和能力。

峨眉看佛光！？？？什么是模糊数学？（模糊数学研究什么？）三、例子保定市是否有两个人头发根数一样多？第2讲 普通集合（第一章 集合与映射）一、集合1．基本概念：只有描述性定义，是数学学科最基本的概念记号,,,,X Y A B .X x ∈φBA ⊆相等有限集合、无限集合幂集：{}()P X X =的子集2．集合表示方法①A ={ 模糊数学，计算方法，……}{}11,2,3,,,n N n {}n ∞=== ②条件表示法{})(x P x X ={}米其身高大于人7.1=X{}()|P X A A X =⊆3．运算① 并：B A ∪② 交：A B ∩③ 差：B A −④ 余(补)：cA⑤ 对称差：()()()(A B A B B A A B A Δ=−∪−=∪−∩B4．性质①幂等律：A A A =∪ ，A A A =∩ ②交换律：A B B A ∪=∪A B B A ∩=∩③结合律：()()A B C A B C ∪∪=∪∪ ()()A B C A B C ∩∩=∩∩④分配律：()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪⑤吸收律：A B A A =∪∩)(A B A A =∩∪)(⑥两极律：A X X ∪=，A X A ∩=A A φ∪=，A φφ∩=⑦复原律：()c c A A = ⑧补余律：c A A X ∪=，cA A φ∩= ⑨对偶律：c c c B A B A ∩=∪)(c c c B A B A ∪=∩)(可以推广到任意有限多个集合。

5.集合族的并与交定义1.1 给定{}t A ，T t ∈，称下面集合} .. , , {t t T t A x t s T t X x x A∈∈∃∈=∪∈为集合族{}t A 的并集。

} , , {t t T t A x T t X x x A∈∈∀∈=∩∈称为集合族{}t A 的交集。

常见指标集：{1,2,,,}T n N == ，]1 ,0[=T集合族的并与交满足分配律：()(t t t T t T)A A A ∈∈∩∪=∪∩A()(t t t T t T)A A A ∈∈∪∩=∩∪A 例1.1 设，},,2,1{n A n =},2,1,{ ++=n n n B n ，求集合族的并集和交集。

}{},{n n B A 解：？？？1{1,2,}n n A N ∞=∪== ， }1{1=∩∞=n n A 1{1,2,}n n B N ∞=∪== ， φ=∩∞=n n B 1二、映射与特征函数1.映射（1）定义1.2设是两个集合，如果有一个法则，使得对于中任意元素Y X ,f X x ，都有Y 中唯一元素与之对应，则称是到的映射。

y f X Y ＊ 以前见过映射吗？单射：满射：一对一映射：（2）映射的性质：见4-5页定理1.2，共11条。

自看，自证，会用。

举几个映射例子………。

2.特征函数定义1.3 设X 为论域，A X ⊆，称映射:{0, 1}1, |()0, A A X x A x x x Aχχ→∈⎧→=⎨∉⎩ 为集合A 的特征函数。

A χ由A 唯一确定，A 也由A χ唯一确定。

这样就在和()P X {}|:{0,1}Y f f X =→之间建立了一一对应关系。

以后经常使用特征函数代替集合，并用()A x 代替()A x χ。

（4）用特征函数及其之间关系和运算表示集合之间的关系和运算)()(x B x A B A ≤⇔⊆)()(x B x A B A =⇔=X x x A A ∈∀=⇔= ,0)(φX x x A X A ∈∀=⇔= ,1)()()()}(),(max{))((x B x A x B x A x B A ∨==∪ )()()}(),(min{))((x B x A x B x A x B A ∧==∩)(1)(x A x A c−=)()(x A x A tTt t T t ∨∪∈∈= )()(x A x A tTt t T t ∧∩∈∈= 式中，和分别为数族的上确界和下确界。

)(x A t T t ∨∈)(x A t Tt ∧∈)(x A t}{t a 的上确界就是最小上界，下确界就是最大下界，用数学式子如何描述？a }{t a 定义1.4 是的上确界，如果满足 a }{t a a ①T t a a t ∈∀≥,②,t b a t T b a ∀≥∈⇒≥定义1.5 是的下确界，如果满足 a }{t a a ①T t a a t ∈∀≤,②,t b a t T b a ∀≤∈⇒≤要求：会求上下确界（能看出来即可）例如：1(2)?t N n∈−=∨ 1(1)?t Nn ∈+=∧ 上下确界与取大取小有什么差别？例1.２ 证明cc c B A B A ∩=∪)(以前怎么证明？()()1()()1max{(),()} min{1(),1()} min{(),()} ()()ccccc A B x A B x A x B x A x B x A x B x A B x ∪=−∪=−=−−==∩即，。

cc c B A B A ∩=∪)(作业1P 6-7 1-9第3讲 模糊集合（第二章 模糊集合）一、模糊集合1.模糊概念研究模糊现象的数学就是模糊数学；涉及模糊概念的现象就是模糊现象；什么是模糊概念？概念：具有一定含义的一个词，词组等。

如：人，头发，晴天，白色，马，球，衣服，研究生，学生，……。

概念的本质属性叫内涵，符合概念的全体对象叫概念的外延。

普通概念的外延构成普通集合。

如：教室里的男同学，河北人等等，这些概念的特点：任何一个对象要么符合这个概念，要么不符合这个概念。

模糊概念：外延不分明的概念。

如：“伟人”、“聪明人”、“健康人”、“正直的人”“年轻人”，……“阴天”、“质量好”、“不稳定”，…… 和普通集合的差别是什么？我们知道：给定论域X ，子集A X ⊆ X x ∈∀，或A x ∈A x ∉二者必居其一且仅居其一。

A A χ↔1, ()0, A x Ax x A χ⎧=⎨⎩完全属于完全不属于 例 2.1 考虑“发高烧”这个（模糊）概念论域T=[30，45 ]36， 37， 38．5，39， 39.5 39.8，…… 38.5度算不算发高烧？不好回答，用一个数描述发高烧的程度，如：38.5对应0.5，即38.5属于发高烧的程度为0.5。

2.模糊集合 （1）模糊集合定义2.1设在论域X 上给定一个映射[])(~| 1,0:~x A x X A →→称A为X 上的模糊子集，)(~x A 称为隶属函数（或对于x A的隶属度） 与普通集合对比就是将特征函数取值范围由{}]1,0[1,0→记。

{}()|F X A A X =是上的模糊子集例2.2 设为人的年龄，Zadeh 给出“年老”[0, 100]X =O ~，“年轻”Y ~两个模糊子集，隶属函为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+≤≤=−−100 50 ,5501500 ,0)(~12x x x x O 97.0)80(~8.0)60(~==O O⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+≤≤=−10025 ,5251250 ,1)(~12x x x x Y 图2-1 年老、年轻模糊集合隶属函数例2.3 考虑五个人构成的论域：{}54321,,,,x x x x x X =1x ， ， ， ，2x 3x 4x 5x 体温：39.8, 39.3, 38.5, 37.5, 36.5“发高烧的人”=A ~11→x9.02→x5.03→x 1.04→x05→x（2）模糊集合的表示法① Zadeh 表示法论域{}12,,,n X x x x = 或{} ,,,21n x x x X =∑==++=n i i i n n x x A x x A x x A A 111)(~)(~)(~~或∑∞==+++=111)(~)(~)(~~i i i n n x x A x x A x x A A或写成：∫=Xxx A A )(~~② 序偶表示法{}),),(~(),),(~(~11n n x x A x x A A =③ 模糊向量表示法))(~),(~(~1n x A x A A =X 中第个元素k k x 的隶属度k k a x A =)(~作为模糊向量A 的第个分量。