0
s
旋度代表某一点的旋转角速度或旋转量，定义了一个向量场， 叫旋度场
在直角坐标系中表达式：
rotv i(vz vy ) j(vz vx ) k(vy vx ) y z x z x y
引进哈密顿算子：
i jk v
x y z vx vy vz
B 张量
一、张量的阶
与坐标变换联系在一起，3n个元素组成的整体。 n=0称为零阶张量（标量） n=1称为一阶张量（向量） n=2称为二阶张量
二、张量的分类 1、笛卡儿张量：在笛卡儿坐标中定义的张量。 2、普遍张量：在一般曲线坐标中定义的张量。
三、符号记 1、求和法则（同一项中有相同的角标出现两次，则该
s

w
nQ

P


l


n
p


nPP


wlnQ

n
p

wl
grad
Vgrad
所以：
lim 1 nds grad vs
v0
若定义一个向量场 F x, y, z ，则向量微分算子与它作用后分别
的通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。
|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理
场为无源场，否则为有源场。
散度的基本运算公式：
n
a
⑴ (ca) c a （ c 常数）
M
S
（2) (a b) a b （3) (a) a a
曲面积分
a
S
n
Q adS an d S an d S
S
S
S
图0.4.1 通量l
称为向量a通过曲面S的通量。若a代表流速v，通量即流量。 在直角坐标系中
div a ax ay az a x y z
有源场和无源场：
散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面
x y z
化率和变化率的方向）
grad i j k
x y z
2、微分形式和积分形式是否等价：
证明：取 的二等值面和两二等值面之间的小圆柱, 如图
沿柱面积分 nds ，该积分由三部分组成，即 s
nds nQQw nPPw
哈密顿算子的符号是 ，有两种表示方法
微分形式： i j k x y z
积分形式：
lim 1 nds Vs
v0
（运算）
n
s v
含义，用它作用在一个标量函数上来说明。（场的概念）
1、 i j k 叫梯度（标量场的最大变
角标须各值后相加）
c xi yi
i
可写为：
c xi yi
2、克罗内克尔符号
1,i j
ij
0,i j
3、交变符号
ijk

1,ijk 1, 2,3, 1,ijk 3, 2,1,
2, 3,1, 2,1, 3 ,
3,1, 2 1,3, 2
0Leabharlann 四、张量定义散度的微分形式为：
V
散度
( 为标量）
F Fx Fy Fz x y z
向量场的环量和旋度
物理量的旋度可用来判别场是否有旋（围绕某点旋转）。
环量定义：在向量场a沿有向封闭曲线l的积分
a d l 称为向量a沿曲线l的环量。
l
rot a n lim 1
s0 S
a d l n
l
旋度定义：
取微小圆柱体， a 取为速度 v ，法线方向为 n ，
对整个微元体进行以下积分 nvds 。n 和 v
的方向满足右手螺旋法则。
定义：
rot v lim 1
n vds
0
s
可证：
rot v lim 1
n vds 2
3、缩并：令张量的两个脚标相等并循环相加。
aii a11 a22 a33
4、内积：内积是外积的缩并。
a ibi a1b1 a2b2 a3b3
5、张量场的微分：
对张量的每个元素 取其 x i (i 1, 2, 3) 的导数
张量的微分叫做张量的梯度（新得的张量其阶数多1）
三、向量微分算子（哈密顿算子）
梯度：描述标量场的不均匀性或变化率，把标量场变成了 向量场。
散度：不描述向量场的变化率，把向量场变成了标量场。
旋度：不描述向量场的变化率，不改变向量场的性质。
四、几个重要公式
1、 div grad 2 拉普拉斯算子 2、 divrota a 0 3、 rot grad 0 4、 rot rota a a a
任二下标相同时
定义1：张量作为向量定义的推广
当由一个坐标系转换到另一个坐标系时，向量 P 按下
式变换
pi Pjij
则笛卡儿坐标系所确定的三向量组 P1, P2 , P3 叫张量
P1, P2, P3 是张量 的向量分量。
定义2：向量的并积，就代表一个二阶张量。
a1b1 a1b2 a1b3
得到：
1 F lim n Fds divF
Vs
v0
叫散度 ，标量，物理意义
1 F lim n Fds rotF
Vs
V 0
1 F lim nFds
Vs
V 0
叫旋度 张量场
向量场的通量和散度
物理量的散度可用来判别场是否有源。
通量：在向量场a中向曲面S的法向量为n，则
旋度运算基本公式
(ca) ca (a b) a b
( a) a a
() 0
(ab) b (a) a (b) (a) 0
小总结
梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小 、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。
ab
a j ,bj
a2b1
a2b2
a2b3

a3b1 a3b2 a3b3
五、张量运算
1、相加 cij aij bij
2、外积：r阶和s阶张量的外积是一个r+s阶张量，其分量为 原来张量的各个分量之积。
cijkmn aijbkmn (i, j, k, m, n 1, 2, 3)