玫瑰花事件的思考
上海市曹杨中学顾慧珠
一、问题背景：拿破伦玫瑰花事件
1797年3月，法兰西总统拿破仑在卢森堡第一国立小学演讲时，潇洒地把一束价值3路易的玫瑰花送给该校的校长，并且说了这样一番话：“为了答谢贵校对我、尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待，我不仅今天呈献上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们法兰西存在一天，每年的今天我都将派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。
”从此卢森堡这个小国即对这“欧洲巨人与卢森堡孩子亲切、和谐相处的一刻”念念不忘，并载之入史册。
后来，拿破仑穷于应付连绵的战争和此起彼伏的政治事件，并最终因失败而被流放到圣赫勒那岛，自然也把对卢森堡的承诺忘得一干二净。
谁都不曾料到，1984年底，卢森堡人竟旧事重提，向法国政府提出这“赠送玫瑰花”的诺言，并且要求索赔。
他们要求法国政府：一、要么从1798年起，用3个路易作为一束玫瑰花的本金，以5厘复利计息全部清偿；二、要么在法国各大报刊上公开承认拿破仑是个言而无信的小人。
法国政府当然不想有损拿破仑的声誉，但电脑算出来的数字让他们惊呆了：原本3路易的许诺，至今本息已高达1375596法郎。
最后，法国政府通过冥思苦想，才找到一个使卢森堡比较满意的答复，即：“以后无论在精神上还是在物质上，法国将始终不渝地对卢森堡大公国的中小学教育事业予以支持与赞助，来兑现我们的拿破仑将军那一诺千金的玫瑰花信誓。
”
为什么1798年的3路易到1984年就成了1375596法郎？
二、问题提出：
在普通复利计算中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。
在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率,由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等。
分别在单利和复利两种条件下，研究实际的利率是否会因计息次数而变化。
假如按月计算利息，为了方便解释，设其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次”。
这个年利率12%称为“名义利率”。
也就是说,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积。
若按单利计算，名义利率与实际利率是一致的。
但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应比12%略大些。
为12.68%。
例如，本金1000元，年利率为12％，若每月计息一次，一年后本利和为：
8.11261212.01100012
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⨯（元）
实际年利率为：
%1001000
1000
1126⨯-=12.68%
这个12.68%就是实际利率。
在复利情况下，不同计息周期情况下的实际利率的计算比较 （为方便计算年利率按12.00%计，本金1000元）
问题的提出：如果将上述表格中一年均分为N 个计息期，那么随着N 的增大，一年后相应的本利和是否会越来越大，是否会发展到任意大？
三、 问题的分析与解决
因为均分成N 个计息期，一年后的本利和为：N
N
)%121(1000+⋅，记%12=r 令：N
N
r N f )1()(+
=，根据二项式定理： N
N N N N n N N r C N r C N r C N r C N r N f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=...1)1()(3
32
21
N r N N N N N r N N r N r ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
+=11....2111!1...2111!3111!21132 ()1
3
211...131121111!11111....121111!1......
121111!31111!211)1(+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=+N N
r
N N N N N N r
N N N N N r N N r N r N f
比较)()1(N f N f 和+的二项展开式，可以看到，除前两项外，)(N f 的每一项
都小于)1(+N f 的对应项，且)1(+N f 还多最后一个正项，于是)1()(+<N f N f 由此可知随着N 的增大，一年后相应的本利和会增大，但不会发展到任意大，因
为：
r r
r N
N N
N e N r N r 10001lim 100011000lim =⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→ 连续复利的概念：
设存入银行的本金为0A ，银行的年利率为r ，如果将一年均分为N 个计息期，那么每期利率为
N
r
，于是： （1）一个计息期后的本利和为：⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+N r A 10
（2）一年（N 个计息期）后的本利和为：N
N r A ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+10
（3）n 年后的本利和为：n
N N r A ⋅⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+10
（4）如果将计息期无限的缩短，即计息期数N 无限的增大，那么n 年后的本利
和为：n r n
r r N
N n
N N n e A N r A N r A A ⋅⋅∞→⋅∞
→=⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=0001lim 1lim
这叫做连续复利公式，可作为复利的近似估算。
四、 问题的推广与反思 1、 连续复利和复利的对比：
取年利率%6=r ，观察当存期,...40,35,30,25,20,15,10,5=n （年）和存期
, (6)
1
,51,41,31,21=
n （年）时，检验连续复利公式与复利公式的接近程度。
（可以通过几何画板绘制表格并描点比较，详见几何画板文件“连续复利和复利”）
2、问题再研究
（1）银行信用卡的连续复利和复利问题：
据《每日经济新闻》曾经报道过一则新闻：王超在2006年1月最后还款后，其信用卡还有欠款7884.05元，拖了两年一直没归还。
依照银行对信用卡超期欠款的计算，两年下来利滚利再加滞纳金就变成了现在的35478.01元。
请查询银行对于信用卡还款的有关规定，解释造成王超背负巨额欠款的原因。
（2）请查询有关银行购房商业贷款或保险公司的某个保险业务，对比研究连续复利和复利问题。